Die Entstehung einer turbulenten Flüssigkeitsbewegung. 325 
xp 
dxf 
Vier partikuläre Integrale dieser Gleichung können wieder 
als Potenzreihen 
angegeben werden. Für ihre Koeffizienten gilt das Rekursions- 
gesetz ; 
(w + 5) (m + 4) (m -f- 3) {m + 2) Ä ,„+5 
(24) — 2 a^(w -j- 3)(m -p 2)Ä,nJ^-3 + a* A,n^i 
= S [(w — 3) (m + 2) A,„ — ^„,- 2 ] . 
Nach dieser Rekursionsformel können wie für a = 0 die 
Koeffizienten der vier Partikularlösungen so gewählt werden, 
daß deren reeller Teil je eine gerade, der imaginäre eine un- 
gerade Funktion von ^ ist. Denn da S rein imaginär ist, so 
steht nach (24) jeder Koeffizient zu einem vorangehenden in 
reellem Verhältnis, wenn die Differenz der Indizes gerade, und 
in rein imaginärem Verhältnis, wenn die Differenz der Indizes 
ungerade ist. Es reicht also aus, die vier Randbedingungen (19) 
für ^ = ff- zu fordern, womit sie zugleich für t) = — ^ er- 
füllt werden. Das Bestehen dieser vier Bedingungen erfordert 
wie früher das Verschwinden ihrer Determinante, was eine 
transzendente Gleichung für JR ergibt. Deren Koeffizienten 
sind wie früher reell und weichen bei genügend kleinen Werten 
von nur wenig von denen der Gleichung (21') (wenn man 
dort (20') einsetzt) ab. Da wir für deren linke Seite einen 
Vorzeichenwechsel nachwiesen, so wird auch die neue Gleichung 
einen Vorzeichen Wechsel, somit eine reelle Nullstelle, haben. 
Also kann unsere Untersuchung mit a® = 0 wirklich als eine 
Annäherung auch für den Fall von kleinen, aber endlichen 
Werten von gelten. 
Die numerische Rechnung zeigt, daß sie für a^=l noch eine 
Annäherung darstellt. Da diese zwar ohne Schwierigkeit, aber 
mit großer rechnerischer Mühe verbunden ist, wollen wir hier 
ihren Gang nur durch eine überschlägliche Schätzung andeuten. 
Sitzungsb. d. matli.-pliys. Kl. Jahrg. 1913. 22 
