über (las Verhalten von ß’''i{x) für lim r = «xi etc. 
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Wir setzen dann: 
(12) ja;. — x^=R (2 = 1,2,..., r). 
Im allgemeinen ist r = 1 ; nur bei spezieller Wahl von 
kann r > 1 sein. Wir setzen weiter voraus, daü sich f{x) an 
den Stellen (11) bestimmt verhält. 
Es sei jedoch bemerkt, daß die Diflferentialgleichung (10) 
sehr wohl noch andere singuläre Stellen im Kreis \ x — Xq \ < II 
haben darf; sogar selbst darf eine solche sein. Auch brauchen 
die Stellen (11) keine Stellen der Bestimmtheit zu sein in dem 
Sinn, daß jedes Integral sich bestimmt verhält. Nur das ins 
Auge gefaßte partikuläre Integral f{x) muß die angegebenen 
Eigenschaften haben; auf die anderen Integrale kommt es uns 
nicht an. 
Nach unseren Voraussetzungen hat auf Grund der allge- 
meinen Theorie der linearen Differentialgleichungen die Funk- 
tion f{x) in der Umgebung der Stelle a;. die Gestalt 
(13) f{oo) = ’ 
l 
wo die Exponenten im allgemeinen komplex sind, während 
für l meistens nur der Wert 0, ausnahmsweise aber auch die 
Werte 1, 2, . . ., w möglich sind; die sind Potenzreihen’). 
Nun ist 
n 41 ^ f f{x)dx 
v! 2 7ziJ (x — a:o)’'+‘ ’ 
wo der Integrationsweg eine den Punkt Xg in positiver Rich- 
tung umlaufende geschlossene Linie ist, welche die singulären 
Punkte von f'(x) außerhalb läßt. Wir beschreiben um Xg als 
Mittelpunkt einen Kreis A" vom Radius (l-f-’?)-R) V zwi- 
schen 0 und 1 liege und so klein sei, daß f(x) im Innern und 
’) Es kommt im folgenden nur darauf an, daß /"(.v) in der Um- 
gebung von die Form (13) bat; die Dififerentialgleicbung selbst .spielt 
weiter keine Rolle. Auch ist nicht ausgeschlossen, daß der Punkt fl; in 
Wahrheit gar nicht singulär ist, indem nur l ■= 0, ; = 0, 1 , 2, . . . 
vorkommt. 
