über d;i3 Verhalten von für lim i' = co etc. 
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da dies doch der gewöhnliche Fall ist^). Dann hat f (x) in 
der Umgebung von a>. die Form 
und es ist 
iflx — x„y 
-yoiR- 
WO mit s der kleinste reelle Teil der Exponenten r>,^x bezeichnet 
ist. Übrigens wird die Summe im allgemeinen auch Glieder 
aufweisen, die von geringerer oder gleicher Größenordnung sind 
wie 72“*' nämlich alle diejenigen, bei welchen der reelle 
Teil von a nicht kleiner ist wie s -j- 1. Diese können natür- 
lich weggelassen werden und sind ohne jede Bedeutung. Ent- 
sprechendes gilt auch im allgemeinen Fall, wenn Logarithmen 
auftreten. 
$5 3. 
Erste Anwendung: Libergangssubstitutionen. 
Unser Satz ist nützlich zur Berechnung der sogenannten 
Übergangssubstitutionen, wie wir am Beispiel der hypergeo- 
metrischen Differentialgleichung 
(17) xil — x)tf + [y — (1 -h a -f- ß)x\y‘ — aßy = 0 
zeigen wollen. Zur Vermeidung von Komplikationen setzen 
wir voraus, daß y und a ß — 7 keine ganzen Zahlen sind. 
Dann hat die Differentialgleichung die folgenden vier Integrale: 
. \yi = ß^ 7-, x) 
ly^ = F-yF(a + 1 — y, ß 1 — y, 2 — y; x) 
(y<, ^ ^(a, ß, 1 + a F ß — y; 1 —x) 
\yi ^ {l — x)y-'‘-^F(y — a, y-ß, l-a-ß + y, 1 — x), 
9 Diesen hat auf andere Art auch Herr Darboux behandelt, der 
im wesentlichen unser Resultat fand (Journal de mathematiques pures 
et appliquees, ser. 3, tome 4 (1878), p. 1 ff., namentlich p. 19 — 20). 
