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0. Perron 
wobei 
( 20 ) 
F{a,ß, y,x)=\-\- 
a{a + l)ß(ß l) 
1 • 2 • y(7 + 1) 
+ . . . 
ist. Wir benötigen weiter nur noch die bekannte Formel 
(21) (1 — xY+^-y F{a, ß,y, x) = F{y — a, y — ß, y,x). 
Da nur zwei Integrale linear unabhängig sind, so existieren 
in dem gemeinsamen Konvergenzgebiet, also in dem den beiden 
Kreisen x <.\, 1 — a;<l gemeinsamen Bereich Relationen 
der Form 
( 22 ) y^ = Ay^F Bij^ 
(23) y^ = Cy^ + Dy^ 
mit konstanten Koeffizienten Ä, B, C, B, die wir berechnen 
wollen, y^ ist an der Stelle a; = 0 regulär; der nächstgelegene 
singuläre Punkt ist x = l^)‘, in der Umgebung von x = \ hat ?/, 
die Gestalt (22), wo rechts die Werte (19) einzusetzen sind. 
Daraus folgt nach unserem Satz: 
= BFc{a F ß- y)v<^+ß-y-^ F 0(\v<^+ß-y-^). 
\ r\ Jx=o 
Anderseits ist hier die linkeSeite der Koeffizient von x'' in der 
Reihe y^ = F(a, ß, y; x); also mit Rücksicht auf Hilfssatz 1: 
aia+l)-(a + v-l)ß(ß+l)--Fß+v-l) _fr{a)fr{ß) 
\r\}x=o l-2---v-y{y + l)---{y + v-l) f,(y) 
Fc (g) Fc(ß) 
Durch Vergleich der beiden Resultate kommt: 
(24) BFc(« +ß-r) = ■ 
0 Nur wenn a oder ß einen der Werte 0, — 1, — 2, . . . hat, ist j/j 
ein Polynom, also 1 kein singulärer Punkt. Aber das ändert nichts an 
unseren Überlegungen ; vgl. die Fufsnote S. 36-5. 
