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H. Jiurkhardt 
mit den Mitteln der Integralrechnung geführt zu haben. Der 
Satz gilt übrigens für jede Funktion (p{x), die im Unendlichen 
von einer bestimmten (nicht notwendig ganzzahligen) Ord- 
nung »i > 1 unendlich wird; er kann mit denselben Mitteln 
bewiesen werden, durch die man die Konvergenz der Reihe 
00 
r~"' für m > 1 dartut. Um das für den vorliegenden Fall 
v=i 
(p{x) = x^ zu zeigen, sei zunächst 
a; = 2P 
genommen, wobei p eine nicht negative ganze Zahl bedeuten 
soll; dann lassen sich die Glieder der Reihe (1) folgendermaßen 
in Gruppen zusammenfassen : 
(2^)2 (2/' -k 1)2 
- ^ u . . . 
(2 P +')2 “ 
— ! k . . . 
U ■ 
(2;'+i _ 1)2 2 p’ 
1 J_ 
■p (2p+^ — 1)^ 2P+* ’ 
+ ^ <J- 
' (2P+3 — 1)2 ^ 2P+- 
usw. Die Summe der Reihe ist also für einen solchen Wert 
von X 
^ ^ 2p+‘ ‘ 2^'+^ + ■ ■ ■> d. 1. < 2 p ~\- 
Analog kann gezeigt werden, daß sie > ist. 
Um diese Resultate auch auf andere Werte von x zu 
übertragen, gehen wir davon aus, daß für positive x jedes 
Glied der Reihe (1) und also auch ihre Summe mit wachsendem 
X abnimmt; es ist also auch für 2 p < a; < 2^+*: 
1 log/'Ca;) J_ 
2p+^ dx‘‘‘ 2p~' 
1 log r{x) A: 
Ax^ dx^ x" 
und um so mehr: 
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