Zur Theorie der Gammafunktion. 
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Selbstverständlich hat man auch bei Anwendung dieses 
Satzes etwaigen Polen der Nenner auszuweichen. 
Um ihn für den vorliegenden Fall zu beweisen und die 
für ihn geltenden Werte der Konstanten a, ß zu bestimmen, 
verbinden wir mit der Gleichung (4) die folgende: 
(33) lo« . = S (log (l + , - log (l + ^ ^ „)) , 
die aus (21) durch Integration zwischen den Grenzen 1 und x 
hervorgeht. Die Differenz kann geschrieben werden 
d log r (x) 
dx 
— log X 
= _,_l + i„g(, + l) + g 
+ S 
log 1 + 
X -\- V — 1 
1 V + 1 
log 
V V 
1 
X -^ V 
indem die hier auftretenden Reihen für sich konvergieren. In der 
letzten Reihe wird jedes Glied im Unendlichen von der zweiten 
Ordnung Null, die Reihe selbst also von der ersten; mit Rück- 
sicht auf (10) ergibt sich also: 
lim 
d log r (x) 
dx 
— log X 
= 0 . 
Da andererseits in der Entwicklung (32) für x = cc alle 
Klammergrößen Null werden, die erste von der ersten, die 
folgenden von höherer Ordnung, so folgt, daß o = 0 sein muß. 
Eine zweite Integration liefert dann: 
log r(x) = ajlog X — X \{x\o^x — (ic -P 1) log {x -f- 1) -fl) 
+ h }(xlogx —2{x-\- l)log(a: + 1) -f- (a: + 2)log(a: ff- 2)) 
[34) +... 
-1 — 
^m-pi 
(x loga: - m {x+ 1 ) log (a: +1 ) H k (- 1 )’" (a; + wj) log (a: + m)) 
