Zur Theorie der Gammafunktion. 
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log r{x) — (x — -l) oc X — 1 
^ 4- '• + ^) log (' + + . 
- 1 
indem jede der beiden Summen für sich konvergiert. Die erste 
von ihnen erfüllt die Voraussetzungen des Stieltjesschen Satzes^) 
bzw. seiner p. 388 gegebenen Verallgemeinerung; man hat also: 
lim [log r(x) - (x — i) log X -\r X - 1] = — S 3 , 
wenn mit S 3 die Summe 
bezeichnet wird. Diese kann in 
(v + 1 ) log 1 + 
1 
1 
V 
— log 
umgeformt werden, ist also nach (10), (15) und (18) gleich 
1 - log V 2 ji. Also ergibt sich schließlich 
lim [log r (x) — (x — log X x} = log \/2 7i 
X-^+ot> 
und folglich muß die Konstante b in (34) gleich log '\/2~n sein. 
Übergang von Logarithmus zum Numerus gibt schließlich 
noch die Darstellung der Gammafunktion selbst durch das un- 
endliche Produkt 
3 
(36) 
4 
V 
r{x) 
= 1/2 Tix^e * [/ ^ ^ [/ 7^ _i_ 1 ^2 (i+i) 
(^_|_ iy2(x+i) 
X 
af(x-\- 2 )^ 
x^(x-\- 2 )® {x 4 )®+^ 
(a; -H 1)3 (^+ 1 ) (x -t- 3)^+3 ^ (x-\- 1 )Hx+i) ^ 3 ) 4 (x+ 3 ) ■ • • • 
') Durch diesen Satz erledigt sich auch das von Gudermann, Journ. 
f. Math., 29, p. 211 ausgesprochene Bedenken, wieso seine Formel und 
die Stirlingsche zugleich richtig sein könnten. 
