464 
E. Landau 
also 
!/;(£)< clog(l + £), 
-ip (e) — > 0 . 
Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit darf ? = 0 
angenommen werden, da man sonst nur die Definition von (p{x) 
auf der Strecke 1 a: 2 abzuändern hätte. 
Nach der Voraussetzung 
<p{x) = 0 ( 1 ) 
ist 
<u 
f(s) = ^ (p{x)x~^ dx 
1 
nicht nur für s > 0 konvergent, sondern ebenda beliebig oft 
unter dem Integralzeichen diffierentiierbar ’). Für s>0 und 
ganzes^) r>l ist demgemäß 
/■(*) (s) = ( — !)'■ J* (p(x)x log' a: d x 
I 
und wegen 
f{s) = s j 0(x)x~^~^ dx, 
da auch hier Differentiieren unter dem Integralzeichen ge- 
stattet ist, 
/’(»■) ( 5 ) — 0[x)x~^~^\og’'~^ X d X 
1 
+ ( — 1)’ s J ^(x)x~^~^\og'' xdx. 
1 
Wegen 
I ^{x)\^K 
ist für festes r > 1 
*) Bekanntlich gilt dies sogar in der Halbebene Di(s)>0; vgl. 
z. B. meine Arbeit Über die Grundlagen der Theorie der Fakul- 
tätenreihen [diese Sitzungsberichte, Bd. XXXVl (1906), S. 151 — 218], 
S. 212, Satz III'". 
ü r ist in der Folge durchweg ganz. 
Vgl. z. B. die in der vorletzten Anmerkung zitierte Abhandlung, 
S. 212, Z. 1. 
