Die Grundforraeln d. sphärischen u. ebenen Tetragonometrie. 511 
II. Die Grundformeln der ebenen Tetragonometrie. 
Es ist klar, daß die Formeln des 1. Teils dieser Arbeit 
auch für diesen, als einen speziellen Fall anwendbar sind. 
Dieser spezielle Fall ist zugleich der einfachere, weil für den- 
selben noch die spezielle Gleichung A -\- B -\- C = n gilt resp. 
die Größe des sphärischen Überschusses gleich Null ist. Zu- 
gleich ist die Ebene als Speziallfall der Sphäre aufzufassen, 
für welche der Radius unendliche Größe erhält. 
Diese Vereinfachung springt besonders in Bezug auf die 
Foi'inel [10| in die Augen, weil wir hier für den Winkel C so- 
j^ar keine spezielle Formeln aufsuchen müssen, da die Gleichung 
C = 71 — (A -|- B) direkt aufgestellt werden kann. Also 
cos C = — cos (A ~{- B) = — cos A cos B -f- sin A sin B 10) 
Für diesen Fall haben wir also in der Formel 10) des 
I. Teils (ab) — 0, was direkt ersichtlich wird, wenn wir den 
7C 
Winkeln A und B die Werte — zuerteilen, das heißt, aus C 
zwei Perpendikel auf a und b ziehen würden. 
Wie in dem Grunde der sphärischen Tetragonometrie das 
sphärische, so steht hier das ebene oder eigentliche geome- 
trische Netz von Möbius. Auch das letztere ist nur ein 
Speziallfall des ersteren. 
Es bleibt also nur eine kurze Durchsicht der Formeln 
des I. Teils auszuführen, um zu entscheiden, auf welche Weise 
diese Formeln modifiziert werden müssen. Der spezielle Beweis 
aber der Rationalität der Ableitung ist schon deshalb über- 
flüssig, weil gerade der Wert eines Zonen winkeis C, für welchen 
wir den komplizierten rationellen Ausdruck (Formel 9) erhalten 
haben, jetzt am einfachsten durch c = n — (A -}- i^) ausge- 
drückt wird. 
In der Grundformel 1) werden die Kotangenten teilweise, 
in Anwendung auf die Winkelwerte der Zonen in einem Punkte, 
ungeändert geblieben, teils durch Strecken ersetzt sein. 
Für den ersten Fall haben wir also 
n cotg \mn\ = (n — m) cotg A\ \ m cotg 1 1 1 1 . 1) 
