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G. Faber 
liehen Beweises dem nachträglichen Studium der Stridsberg- 
schen Abhandlung. 
Um die weitere Anwendbarkeit meiner Methoden darzu- 
tun, betrachte ich endlich in einem vierten Paragraphen über 
Herrn Stridsberg hinausgehend eine Klasse ganzer Funk- 
tionen, die schon Herr Perron') auf ihre arithmetischen Eigen- 
schaften hin untersucht hat; meine Ergebnisse sind viel all- 
gemeiner als die des Herrn Perron. 
§ 1- 
Die Transzendenz von ji. 
Die algebraische Gleichung 
(1) + «1^"”' + \- a„ = 0, 
deren Koeffizienten a^, a^, . . ., a„ ganze Zahlen sind, besitze die 
Wurzeln x.^, . . ., x„. Angenommen, eine dieser Wurzeln 
sei gleich ::i, dann wäre 
(2) (1 cosa;,)(l cosa;^) • • • (1 + cosa:„) = ü. 
Die Unmöglichkeit dieser Gleichung soll nachgewie.sen 
werden. 
Ich denke mir die Produkte in (2) ausgeführt, so dafi 
aus (2) die folgende Summe wird: 
1 + cos x^-{- 2, cos x^ cos x^ 2 cos x^ cos x.^ cos 2:3 -(- • • • 
-|- cos x^ cos a;2 . . . cos a;„ = 0 . 
Die 2" bedeuten symmetrische Funktionen der x^, x^, . . ., x„. 
Alle cos-Produkte verwandle ich in Summen unter Bewah- 
rung der Symmetrie in den x^, x.^ ■ . x„, z. B. : 
cosa^j cosx^ = [cos (a^j + a;2) + cos ( — a^j — -^2) (^1 — ^2) 
(4) -U cos(a;2 — a:,)] 
cos Xj cos x^ cos \ [cos (ajj + a^g + a:3) -[ cos ( — a;, — a;, — a^j) 
-j- cos( — a^j "U a:2 "p ^3) “P (^1 ^2 ^3) (^1 ^2 ”1” 
-P cos(-a:,-[-a:2— a:3)-Pcos(a:,-Pa;2-a:3)-i- cos(— a;,-a:2-t-^3)] 
1) Math. Ann., Bd. G6 (1909), S. 482. 
