über arithmet. Eigenschaften gewisser ganzer Funktionen. 535 
Auch schreibe ich J cosa:, -f- ^ J cos( — a;,) statt A’cosajj’, 
multipliziert man dann noch ( 2 ) mit 2 ”, so erhält man : 
(5) 4- cos Ci -f cos C 2 -f h cos Cm = 0 ; 
64 ist eine positive ganze Zahl, die C sind Aggregate der Form 
■;^Xi-^Xk - ■ • + Xi, sie sind selbstverständlich nicht alle vonein- 
ander verschieden; jede symmetrische Funktion von Cp C 2 , ■ ■ ■, Cm 
ist offenbar auch eine solche von x^, x,, . . x„-, ferner wurde 
durch die Umformung (4) erreicht, dah in (5) neben Ci und 
ebenso oft — Ci vorkommt. Die C sind daher Nullstellen einer 
geraden Funktion: 
(6) (p(0 = AC'”* + -k • • • + .4„. 
mit ganzzahligen Koeffizienten A^, . . Am- Man darf 
voraussetzen, daß keine dieser Nullstellen gleich Null ist; sonst 
hätte man nämlich in (5) alle Summanden cosCt mit Argumenten 
Ci = 0 vorher mit der ganzen Zahl Cg vereinigen können, die 
darnach mindestens gleich 2 ” ist. 
Es handelt sich nun darum, für cos Cp cosC«! • • - i cos Cm 
geeignete Näherungswerte zu finden. Ist g{C) irgend ein nur 
gerade Potenzen enthaltendes Polynom 
(7) 6r(C) = Co + c,C^-l-c,C^-k.-.,. 
so verstehe man unter g{C) die Majorante 
(8) I Cfl I -p c, C® I + i Cg C* + • • • 
und unter 6 r(C) das Polynom 
(9) g (C) - g"iC) + (C) - (C) + , 
bis diese Reihe von selbst abbricht. Dann ist 
(10) GiO)cosC^C(C) + e-giC). 
Unter & wii’d hier, wie stets im folgenden, eine Zahl 
verstanden (nicht jedesmal die nämliche), deren absoluter Be- 
trag für alle C < ^ kleiner als e* bleibt, also : 
( 10 ') \fj\<e^ für ‘Ci<^-. 
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