über arithmet. Eigenschaften gewisser ganzer Funktionen. 537 
§ 2 . 
Arithmetische Eigenschaften der Besselschen und verwandter 
ganzer Funktionen. 
Es sei jetzt die Differentialgleichung 
(13) S + (l’-+0) 
vorgelegt, von der die der Besselschen Funktionen ein ganz 
spezieller Fall ist. Versteht man unter f(v) das Polynom 
(m -{- 1)*®“ Grades 
(14) f{v) = -f — 1) + • • • -f h,nv{}' — 1) ... (r — m) 
und setzt man voraus, daß f{y) keine positiven ganzzahligen 
Nullstellen besitzt, so genügt der Differentialgleichung (13) 
offenbar die ganze transzendente Funktion 
V{x) oder ausführlicher geschrieben 
,, '' ‘ + A^i ) + mm + ■■■ 
( 13 ) ^ 
+ Al)-/' (2)... /W 
Für den Fall, daß b^, . . ., b,„, x^, . . ., Xn, ferner 
Cq, (7j, . . C„ rationale Zahlen sind, soll eine Bezie- 
hung der Form 
(16) C,V{x,) + C,Vix,) + • • • + C„Vix„) = 0 
als unmöglich nachgewiesen werden, es sei denn daß 
Cg = = . . . = Cn = 0 ist. 
Wegen der Funktionalgleichung 
(17) F{ax, abf,, a&j, . . ., ab„^) == V(x, b^, />j, . . ., b„,) 
genügt es beim Beweise, die b, x als ganze Zahlen voraus- 
zusetzen; die C können selbstverständlich ebenso gut ganz- 
zahlig wie rational vorausgesetzt werden; ich verstehe daher 
im folgenden unter den b, x, C stets ganze Zahlen. 
