über arithmet. Eigenschaften gewisser ganzer Funktionen. 541 
so sieht man ohne weiteres ein, daß nicht nur G-(0) V(x) 
durch G(x), sondern auch die Ableitungen fr (0) (ic) durch 
_ if ^ «i -{- 1 — mit der für die Zwecke des vorliegen- 
den Beweises genügenden Annäherung approximiert werden, 
ferner daß 
CiiO Gl p{xü) Ch I G'ip{Xk) -[-••• + Citm+\ G^''^^\Xk) 
für Ä > 0 eine durch p teilbare ganze Zahl ist. Man schließt 
wieder, daß dann auch 
Cf,QGip{Xo) -b Coi G'ipix^) -f • • • -j- C'om+i 
durch p teilbar wäre für 
A — 1, P — 2, . . p — m — 1; 
bezeichnet man mit Fiix), was aus 
C,,G{x) + C,, G‘{x) + • • • + 
wird, wenn man g{x)=^{x — x^'- zu Grunde legt, so folgt 
aus den Rekursionsformeln (23) und (24), die ebenso für ri{x) 
wie für Gi{x) gelten, daß ri{x^, wenn A>1 ist, durch p 
teilbar ist und da p noch unendlich viele Werte annehmen 
kann, muß 
(26) Fl {x^ = 0 sein für / > 1 ; 
insbesondere sind r^{x^ = 0, r^{x^ = 0 . . . Z’,„ 4 .i(Xo) = 0 
m-j-l lineare homogene Gleichungen zur Bestimmung der wi-f-1 
Verhältnisse (7*» : (7*0 (^ = 1, 2, . . . , m -|- 1), die dadurch voll- 
ständig bestimmt sind ; denn die erste dieser Gleichungen ent- 
hält nur (7o„, (7oj, die zweite nur (7 oq, (7(,j, usw. ; das sich 
durch Auf lösung jener Gleichungen eindeutig ergebende Lösungs- 
system muß also mit dem von vornherein bekannten System 
(7oj+i = — identisch sein. (Man kann dies natürlich 
unschwer durch explizite Aufstellung und Auflösung der Glei- 
chungen (26) verifizieren; man verfährt zu dem Zwecke am 
einfachsten so : wenn man gi (x) ~ x^- statt — {x — Xq)'- setzt, 
so folgt aus (26) für die neuen Funktionen /;.(a;) 
(26) FiiXo) ^ CooX'^. 
