über arithmet. Eigenschaften gewisser ganzer Funktionen. 543 
Die Funktion U(x) genügt der Differentialgleichung 
(29) + 
dy 
+ &„,_i X"-» + 
' dx”' ' 
+ Ko •+ ® 
y — 1 
— 2 / = 0 . 
cZx X 
Setzt man jetzt, wenn wieder g{x) irgend ein Polynom ist, 
Opg{x) = \g‘{x) + h^xg"{x)-\ \- b,„ x”' g^”>+^'> (x) 
(30) ^ g(^x)—giO) 
X 
und 
(31) G{x) = g{x) + Opg{x) + Op‘g{x) H , 
so wird 
(32) G{0) ■ U(x) = Gix)-\- &g{x). 
Wie G{x) aus g(x), so entsteht r(x) aus dem Polynome 
/(x) usw. Setzt man 
(33) 7 a^(x) = x''(x — x„)“ — A > 0, ^>0, Xo4:0— , 
so ist nach (30) : 
m-|-I 
(34) Op yx f, (x) = ifG) + a) y ,.- 1 „ (x) + yx-i+r (x) 
1 
(die Cq sind ganze Zahlen, speziell — — 
und c» = 0 für alle j’>,a), ferner 
m+l 
(35) Fx f, (x) = yx (x) -f (/'(A) + a)^ -1 ^(a:) + S- c„ Fx-^j^y „_v {x), 
1 
endlich 
m+I 
(36) A^(xo) = (/(A) -F a)Fx-\f,{x^ CyFx-\+v^,-y{x^. 
1 
Fxfi{x) setzt sich mithin linear mit ganzzahligen Koeffi- 
zienten aus den Funktionen 
(37) Fx-^+yf,-y(Xo)iv = 0, 1, . . ., m + 1) 
zusammen. 
Die Summe der Indizes der Funktionen (37) ist A-)-^ — 1; 
der Koeffizient Cy in (36) hat den Teiler g(^ii — 1)...(/4 — >'-|-l) 
