über aritbmet. Eigenschaften gewisser ganzer Funktionen. 54 i 
Erstens: Es gibt eine bis auf einen Faktor be- 
stimmte ganze transzendente Funktion F(a;), die der 
Differentialgleichung (58) genügt. 
Zweitens: Sind Xg, x^, . . ., x„; Cgg, Cg^, . . ., Com + i, • • ■< 
C„Q, C„], . . Cnm+i rationale Zahlen und ist außerdem 
4^ 0 (i = 0, 1, . . ., n), so ist eine Relation der Form 
(bO) SMF = 0, 
1 
wo Wk soviel bedeutet wie 
Ck^V{xk) + Cki V‘{Xk) . . . + Ck„,+x 
nur dann möglich, wenn jeder einzelne Summand 
(61) Wk = 0 
ist (Ä’ = 1, 2, . . ., w). 
Drittens: Die Gleichung 1^ = 0 erfordert, daß 
alle Koeffizienten C'&o, Ck\, . . Ckm+i entweder gleich 
Null sind, oder daß sie die Proportion 
CkO Ck\ • Ck-2 ■ ■ • • üftm+l 
= -\-.Q.,{Xk)-.Q,{Xk)-----Qr>^(^^) 
erfüllen; m. a. W.: die Relation TF* = 0 ist nur mög- 
lich, wenn sie sich aus der Differentialgleichung (58) 
für X = Xk von selbst ergibt. 
Den ersten und dritten dieser Sätze hat schon Herr 
Perron^) bewiesen; ich könnte mich für meinen allgemeineren 
Satz auf diese Resultate des Herrn Perron oder wenigstens 
auf die von ihm begründete Theorie der Jacobi-Ketten stützen, 
die bei ihm die Grundlage der weiteren Entwicklungen bildet. 
Ich ziehe es aber vor, den ganzen obigen Satz neu zu be- 
weisen, einerseits weil dies kürzer und für den Leser bequemer 
ist als fortgesetzte Verweisungen, andererseits weil mir mein 
Verfahren auch für andere Probleme verwertbar erscheint. 
1) A. a. 0.: Math. Ann. Bei. 66 (19Ö9), p. 482. 
