über arithmet. Eigenschaften gewisser ganzer Funktionen. 549 
(66) 
Op(j, (x) = 
+ ^Vj(0)»'(v-1) + v(>'-l)(v-2)+ •• • 
m\ 
»’(i’-l). .Ar-m) 
ml 
+ ■ ■ • + X'’ (0) j’ ()' - 1) . . . ()- - m) , 
was ich kürzer so schreibe: 
(67) Opg,{x) = x'’-^ \ {v) A- x-^-^h^{x) A (v); 
die Polynome Äj(v) und hm^\{v) sind vom (m+l)‘®", die übrigen 
hi (v) höchstens vom (m -p 1)*®“ Grade. 
Aus (64) und (67) folgt 
(68) (»') ^>-1 (^) + K (»’) G^v- 2 (a;) + • • • 
~P hm-\r^ (^) Gy—m — 1 {oA) . 
Bezeichnet man daher mit den Koeffizienten von x^ 
in Gy {x), der eine ganze Zahl ist, so gilt für Ti<iv — 1 die 
folgende von Ti unabhängige Rekursionsformel 
(69) = Ä, (r)5p-i^ + Ä,(r)^'*'-2) + • • • + /*„+. (r)5p-"-» . 
Man bemerke zunächst, daß lim = oo ist, bei 
V =Z CO 
beliebigem, aber konstant gehaltenem It und für jede noch so 
große von v unabhängige Zahl H-, denn einerseits sind die 
Zahlen .BpP wie ein Blick auf das Bildungsgesetz der Koeffi- 
• V ! 
zienten Tii (v) lehrt, durch teilbar, andererseits können nicht 
• • •> gleichzeitig Null sein, da sonst auch 
j^y-„,-x) schließlich Null wäre, während tatsächlich 
= 1 ist. Somit ist es möglich zu jeder gegebenen positiven 
Zahl H Zahlen v auf unendlich viele Weisen so zu wählen, daß 
(70) 1 i 
ausfällt für ^ = 1, 2, . . ., v. 
Dann folgt aber aus (69) 
Sitznngsh. d. inatli.-pliys. Kl. .Jahrg. 1913. 
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