Ein Satz über Dirichletsche Reihen. 
Von Harald Bolir. 
Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 8. November 1913. 
In der vorliegenden Abhandlung werde ich einen Satz 
über den funktionentheoretischen Charakter der durch eine 
Dirichletsche Reihe dargestellten Funktion beweisen. Dieser 
Satz, welcher sich auf den allgemeinen Typus Dirichletscher 
Reihen bezieht, d. h. auf die Reihe 
(1) /'(«) = /■(ö -f iO = f; «n 
n=\ 
WO 
0 ^ /j < -^.2 < ■ ■ ■ < < ■ ■ ■ ’ = c» 
ist, lautet folgendermaßen: 
Satz: Es sei die Dirichletsche Reihe (1) in einer 
gewissen Halhebene absolut konvergent. Zwei reelle 
Zahlen G und H seien so beschaffen, daß die durch 
die Reihe (1) definierte Funktion f{s) in der Viertel- 
ebene G, H regulär und beschränkt ist. Dann 
ist/(s) in der ganzen Halbebene o '> G regulär und 
beschränkt. 
Beweis: Nach Voraussetzung ist ein rj so vorhanden, daß 
(1) für ö > absolut konvergiert und somit für o > ?; eine 
reguläre beschränkte Funktion f{s) darstellt. Ferner ist nach 
Voraussetzung f{s) in der Viertelebene o'>G, ^ (wo G 
offenbar <Crj angenommen werden darf, da der Satz im Falle 
G'^rj trivial ist) regulär und dem Betrage nach K, wo K 
