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0. Blumenthal 
Ordnung gilt nur auf einem Halb strahle durch den Null- 
punkt, genauer, in einem gewissen Winkelraum, dessen Scheitel 
der Nullpunkt ist. Ist also ein der asymptotischen Ent- 
wicklung auf der positiven reellen Achse zugeordnetes In- 
tegral, so wird auf der negativen reellen Achse dieses Integral 
nicht mehr sondern einer linearen Kombination aller vier 
asymptotischen Entwicklungen zugeoi’dnet sein. Diese ,Üher- 
gangssubstitutionen“ aber braucht man gerade zur Lösung 
einer Randwertaufgabe an den Punkten = Um sie zu 
gewinnen, habe ich den allgemeinen Weg verlassen müssen 
und zu dem speziellen Verfahren der Integration von (1) durch 
bestimmte Integrale gegriflPen, das ja auch hei der Besselschen 
Differentialgleichung zu dem gleichen Zwecke angewandt wird. 
Die Integraldarstellung wird mir durch die Laplacesche 
Transformation geliefert'). Es erscheint mir sehr beach- 
tenswert, daß die Gleichung (1) ein Beispiel ist, wo diese im 
allgemeinen recht , theoretische“ Methode vollständig durch- 
geführt werden kann. 
Zunächst läßt sich die Variable mit dem Parameter R 
zusammenfassen. Wir setzen 
ry = Rly 
und erhalten : 
Diese Differentialgleichung ist vom Range 3*) und daher 
der Laplaceschen Transformation nicht unmittelbar zugäng- 
lich *) ; sie läßt sich aber durch die einfache Substitution 
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auf den Rang 1 bringen und damit zugänglich machen. 
1) Siehe z. B. Picard, Traite d’ Analyse III, cliap. XIV, 9—19 
(2. Aufl.), S. 394-412. 
2) Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen üififerential- 
gleichungen I, S. 337 — 339. 
Dies folgt aus den asymptotischen Entwicklungen der Integrale 
einer Gleichung vom Range r >• 1 ; siehe Schlesinger, 1. c., S. 355 356. 
