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Üm sie zu formnliren^ bestimmen wir für einen beliebigen Drehungswinkel 
q) (C cpi) das statische Moment von V^. 
In Fig. 2 sei Z Z die Yertikallinie, die mit der Hauptachse S 0 den 
Drehungswinkel g) bildet und S S seien die Projektionen von Sg auf die 
1 2 
1 1 1 
Ebene der Zeichnung. Wird und Pg senkrecht zu Z Z gezogen, Pj 
mit mj, Pg mit mg bezeichnet, so sind mj == mg Yg die statischen Momente, 
die in der Gleichgewichtslage verschwinden müssen. Wird Q ( _L 0 S ) mit 
q und S Q mit p bezeichnet, so ist nach bekannter Coordinaten-Transformation 
mg = q cos g) — p sin 9 
folglich die II. Gleichgewichtsbedingung: 
mg Yg = mj Yi = Yg (q cos g)^ — p sin =0 6 . 
Das statische Moment m^ Yj ist zugleich das Drehungsmoment des wirken- 
den Kräftepaars (der in S nach unten wirkenden Schwerkraft und des in Sj 
nach oben wirkenden Auftriebes) für die mit A B (Fig. 1) parallele Drehungs- 
achse. Hat dieses beim Yerschwinden (also beim Durchgänge durch die 
Gleichgewichtslage) den Zeichenwechsel -|- — , so ist 7. 
das Gleichgewicht labil, im entgegengesetzten Falle für diese Achse stabil. Man 
kann dies auch dahin aussprechen, daß in der stabilen Gleichgewichtslage 
die kleinste Aenderung des Drehungsmoments, d. h. also der Differentialquotient 
von m^ Yj (nach g) genommen) positiv, im labilen Gleichgewicht negativ ist. 
Ist ersteres für alle horizontalen Achsenrichtungen der Fall, so findet voll- 
kommene Stabilität statt. Diese Bedingung für die Stabilität hat zuerst 
Duhamel in seinem Lehrbuch der Mechanik in folgende Form gebracht: 
T — Yj e^ )> 0 (DuHAMEL’scher Satz). 8 . 
Hierin ist T das Trägheitsmoment des Wasserschnitts ^) für jede durch 
seinen Schwerpunkt gehende Drehungsachse und e^ = SSj. Natürlich ist diese 
Bedingung für alle Schwerpunktsachsen erfüllt, wenn sie für die Achse des 
kleinsten Trägheitsmoments erfüllt ist. Zum Zweck der Bestimmung des 
letzteren in den einzelnen Fällen werden hier folgende Sätze vorausgeschickt 
und bewiesen: 
Erster Satz. Hat eine ebene Figur eine Symmetrieachse 9. 
und für diese und irgend eine andere Achse (Aj) gleiches Trägheitsmoment, 
so hat sie für alle durch den Schnittpunkt 0 der beiden ersteren gehenden 
Achsen auch dasselbe Trägheitsmoment. 
Beweis. Das Trägheitsmoment für die Symmetrieachse (X-achse) sei Tx , 
das T. M. für die in 0 auf ihr senkrechte (Y-)Achse Ty und das T. M. für 
1) Wasser schnitt soll die Fläche heißen, in der der Körper von der Ebene des 
Wasserspiegels geschnitten wird. 
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LofC. 
