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Sitzung der math.-phys. Klasse vom 3. Febi-uar 1906. 
Hierbei handelt es sich natürlich nur um solche Werte 
von a;, welche von 0, — 1, — 2, ... verschieden sind, da sonst 
die Glieder der Reihe sinnlos sind. 
Der Satz I läßt sich offenbar auch folgendermaßen aus- 
sprechen ; 
Der Konvergenzbereich einer Fakultätenreihe be- 
steht aus einer Halbebene, welche links durch eine 
Parallele zur Achse des Imaginären begrenzt ist. 
Mit anderen Worten: zu jeder Fakultätenreihe gehört 
eine bestimmte reelle Zahl A derart, daß (abgesehen von den 
Punkten 0, — 1, — 2, . . .) die Reihe für 91 (x) > A kon- 
vergiert, für 9i (a;) < A divergiert. Das Verhalten für 9?(a:) = A 
bleibt ebenso unbestimmt wie das Verhalten einer Potenzreihe 
auf dem Konvergenzkreise. 
Hierbei sind offenbar die beiden extremen Fälle A = oo 
und A = — oc auch möglich , in welchen der Konvergenz- 
bereich nicht vorhanden bezw. gleich der ganzen a;-Ebene ist. 
Ein Beweis des wichtigen Satzes I ist zuerst von Herrn 
Nielsen* *) veröffentlicht worden; derselbe stützt sich auf geAvisse 
Integraldarstellungen der Fakultätenreihen und ist recht kom- 
pliziert. Auch erscheint mir Herrn Nielsens Beweisführung nicht 
einwandfrei.^) Ich werde die vorliegende Arbeit damit beginnen, 
daß ich einen direkten und sehr einfachen Beweis des Satzes I 
mitteilen werde. Ich benutze diese Gelegenheit, um Herrn 
Jensens Verdienste in dieser Frage besonders hervorzuheben. 
Herr Nielsen zitiert von dessen Publikationen nur eine aus dem 
Jahre 1891,*) in welcher Herr Jensen den Satz I ohne Beweis 
*) jReclierches sur le.s series de factorielle.s“, Annales scieiitifiques 
de l’ecole normale superieure, Ser. 3, Bd. 19, 1902, S. 416—429; „Les series 
de factorielles et les operations fondamentales“, Mathematische Annalen, 
Bd. 59, 1904, S. 356— 359; „Handbuch etc.“, S. 239-245. 
*) Schon die von ihm (1. c., S. 420, bezw. S. 357, bezw. S. 241— 242) 
mit / und /' bezeichneten Zahlen sind dort so definiert, daß sie nur 
unter einschränkenden Annahmen über die Koeffizienten der gegebenen 
Fakultätenreihe existieren. 
*) „Gammafunktionens Theori i elementeer J’remstilling“, Nyt Tids- 
skrift for Mathematik, Bd. 2 B, S. 6 '. 
