E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. 159 
lim ■ • • (^0 
„ = ^x,{x,-\-\)...{x,^n) r{x,y 
(7) lim ' ^0 (^0 + ^) • • • (^0 + w) I ^sjj(*,_xo) == : , 
„=oo X, (a^j + 1) . . . {x^ -I- w) 1 ; r(xy) i ‘ 
Aus (7) folgt zunächst wegen 91 {x^ — x^) > 0, daß 
lim I c,. I = 0, 
ft = CO 
lim c„ = 0 
n = CO 
ist, womit die zweite Voraussetzung des Hilfssatzes 2 erfüllt 
ist. Ferner folgt aus (5) und (7), daß 
lim ' c„ — c„ + i I I ^ I ! — rCo 1 
ist, also von einer gewissen Stelle an 
I c,. — c„+i I < 2 j ! I —^ 0 1 ni+3f 
hieraus ergiebt sich die Konvergenz von 
00 
c« C/i -j- 1 I , 
« =r0 
SO daß auch die dritte Voraussetzung des Hilfssatzes 2 erfüllt 
ist. Derselbe liefert also die Konvergenz von 
” M ' r/ 
*1 = 0 » 1 = 0^1 (^1 + 1 ) • • • (^1 + 
und damit den Satz 1. 
Aus Satz I folgt, wie schon in der Einleitung angegeben, 
die von Herrn Jensen entdeckte Tatsache: 
Wenn eine Fakultätenreihe gegeben ist, so sind nur 
folgende drei Fälle möglich 
b Hierbei ist nur von den Zahlen die Rede, welche von 0, — 1, 2, . . . 
verschieden sind. 
