E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. 161 
folgt wegen 
1 -ß« ißn Cfi -|- 1 ) j 5^ jB I C,j C,i j , 
I -B/ C/ + 1 I <i B \ Ct+i\ 
ohne weiteres die Richtigkeit der Behauptung. 
Satz II: Eine Fakultätenreihe ist in einer gewissen 
Umgebung jeder (von 0, — 1, — 2, ... verschiedenen) 
Stelle im Innern ihrer Konvergenzhalbebene gleich- 
mäßig konvergent. 
Es genügt offenbar zu beweisen : wenn ü {x) für x^, kon- 
vergiert, so konvergiert Q{x) gleichmäßig für alle a; = 
welche die Ungleichungen erfüllen 
^0 + ^ ^ ^0 + i'2> — >'3 ^ ^ 
wo y, , 7.2, 73 drei positive Größen bezeichnen (7, < 73), die so 
klein gewählt sind, daß das obige Rechteck keinen der Punkte 
0, — 1, — 2, ... im Innern oder auf dem Rande enthält. In 
der Tat läßt sich jede (von 0, — 1, ... verschiedene) Stelle 
der Konvergenzhalbebene in ein solches Rechteck ® einschließen. 
Beweis: Es werde 
, ^ nla,, ^ ^0 (^0 + 1) • • • K + 
" {x^-^ 1 ) . . . {x^-]r ny " x {x . {x + n) 
gesetzt. Dann handelt es sich auf Grund des Hilfssatzes 3 ledig- 
lich darum, nachzuweisen, daß in ® gleichmäßig 
lim Cn — 0 
M = GO 
ist, und daß die Reihe 
00 
S 1 ('n c« -j- 1 I 
« = 0 
in ® gleichmäßig konvergiert. 
Wenn eine ganze Zahl 7 oberhalb der drei Zahlen \Xq\, 
I Xq -h 7i I + 73 und 1 + 72 1 + 73 gewählt wird, so ist in @ 
überall 
\x' = I M I ^ I I -}-■ I V I < 7, 
ebenso 
^0 \ < 7- 
1906. Sitzungsb. d. matb.-phys. Kl. H 
