E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. Iß3 
n 
n-j 
2 / 
n 
i+v 
« 2 
ist, so daü die Keilie 
00 
i f-n -|- I I 
n = 0 
in ® gleichmäßig konvergiert. Damit ist der Satz II bewiesen. 
Nun besagt ein bekannter Satz von Weierstraß:*) Wenn 
f^ix), ... analytische Funktionen sind, welche in 
einem zusammenhängenden Gebiete @ der a:-Ebene 
regulär sind, und wenn die unendliche Reihe 
tfn{x) 
»1 = 1 
in einer gewissen Umgebung jeder Stelle von @ gleich- 
mäßig konvergiert, so stellt diese Reihe in ® eine ana- 
lytische Funktion f {x) dar; ferner ist die durch A-- 
maliges gliedweises Differentiieren (Je = 1,2, . . .) gebil- 
dete Reihe 
') „Zur Funktioneulehre“, Monatsberichte der Kgl. Pr. Akademie der 
Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 723— 726; Abhandlungen zur Funk- 
tionenlehre, 1886, S. 73 — 78; Werke, Bd. 2, 1805, S. 205—209. Herr 
Morera folgerte im Jahre 1886 (,Un teorema fondamentale nella teorica 
delle funzioni di una variabile complessa“, Rendiconti del R. Istituto 
Lombardo, Ser. 2, Bd. 19, S. 306 und „Sulla rappresentazione delle fun- 
zioni di una variabile complessa per mezzo di espressioni analitiche 
infinite“, Atti della R. Accademia delle scienze di Torino, Bd. 21, S. 894 
bis 897) diesen Satz aus der von ihm entdeckten Umkehi-ung des Cauchy- 
schen Integralsatzes. Herr Painleve führte im Jahre 1887 („Sur les 
ligues siugulieres des fonctions analytiques“, Annales de la faculte des 
Sciences de Toulouse, Bd. 2, S. ll-12j den Nachweis des Weierstraß- 
schen Satzes mit Hilfe des Cauchyschen Satzes. Es ist jedenfalls über- 
flüssig. daß Herr Gaben U. c., S. 85-86) in der Theorie der Dirichlet- 
schen Reihen nach dem Beweise der gleichmäßigen Konvergenz in einer 
Umgebung jeder Stelle der Konvergenzhalbebene noch besonders beweist, 
daß die durch gliedweiaes Differentiieren entstehenden Reihen konver- 
gieren. Weierstraß, Herr Morera und Herr Painleve bemerken übrigens 
auch, daß die Reihe (11) in einer gewissen Umgebung jeder Stelle des 
gegebenen Gebietes gleichmäßig konvergiert. 
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