164 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 3. Februar 1906. 
( 11 ) 
« = l 
in ® konvergent und = /W (a;). 
Aus diesem Satz folgt in Verbindung mit Satz 11 der 
Satz III. Eine Fakultätenreihe stellt in ihrer Kon- 
vergenzhalbeben e eine mit eventueller Ausnahme 
der Punkte 0„ — 1, — 2, ... reguläre analytische 
Funktion dar und darf dort beliebig oft gliedweise 
differentiiert werden. 
Die in der Konvergenzhalbebene gelegenen Punkte 0, — 1, 
— 2, ... sind, wie leicht einzusehen ist, Pole erster Ordnung 
oder reguläre Stellen. Denn, wenn x = — m {m > 0) ein sol- 
cher AVert ist, so ist 
(12) x(x+l)...(^ + ».) -S, ^(^+r)’.“". (:. + «) ) 
® n\ a„ 
~„=?+i + 1) + 2) . . . (a: -}- w) ’ 
falls 
n — m — 1 = Z:, x -\- m \ = y, n \ a,, = k ! 
gesetzt wird, von neuem eine Fakultätenreihe 
® k'.bic 
fc5o (^ + 1) • • ■ ^ ’ 
stellt also eine für y — I reguläre analytische Funktion dar, 
so dah nach (12) (ir -j- «0 ^hr x = — m regulär ist. 
In ihrer Konvergenzhalbebene braucht eine Fakultäten- 
reihe nicht absolut zu konvergieren. Es gilt der von Herrn 
Nielsen’) bereits auf dem natürlichsten AA’^ege bewiesene 
Satz lA". Das Gebiet der absoluten Konvergenz einer 
Fakultätenreihe ist — falls die Reihe weder überall 
noch nirgends absolut konvergiert — eine Halb- 
ebene, welche links durch eine Gerade ^ (x) = /u be- 
') jRecherches etc.“, S. 415; „Handbuch etc.“, S. 238. 
