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Sitzung der math.-phys. Klasse vom 3. Februar 1906. 
Für jede Fakultätenreihe gibt es also, wenn man die beiden [ 
Sätze I und lY zusammennimmt, zwei charakteristische Zahlen I 
/ und fx derart, daß l /n ist und (abgesehen von den Punkten 
0, — 1, — 2, . . .) die Reihe j 
für 91 (x) < A divergiert, 
für / < 91 (x) < /< bedingt konvergiert. 
für 91 (x) > ju absolut konvergiert. ; 
Hierbei kann es sich allerdings ereignen, daß ?. = ju ist, also 
der Streifen bedingter Konvergenz nicht vorhanden ist; ferner ; 
müssen für die Zahlen / und u auch die extremen Werte — oo 
und -j- Qc zugelassen werden. 
Es gilt noch der von Herrn Nielsen') bewiesene j 
Satz Y: Wenn eine Fakultätenreihe für konvergiert 
und 91 (a:j) > 91 (ajg) 1 ist, so ist die Reihe für x, 
absolut konvergent. 
Hierbei wird x^ von 0, — 1, . . . verschieden angenommen. 
Aus diesem Satz folgt, daß für endliche A, ju stets 
ist, ferner, daß für A = — oc auch u = — oo ist und daß für 
ju= -\- cc auch A =• -p °° ist. , 
Beweis: Wie Herr Nielsen wohl bemerkt hat, folgt die 1 
Behauptung, auch wenn man an Stelle der Konvergenz von I 
O {x^ nur voraussetzt, daß füi* alle n 
1 1/ j 
' ^0 (^0 + 1 ) • • • (^0 + w ) I ^ " 
1. st, unmittelbar aus (7); denn alle Glieder von 
^ n\\a,,\ I 
«io (^1 + 1) • • • (^1 + ”) I 
liegen nach (7) und (13) von einem gewissen n an unterhalb i 
') „Becherches etc."*, S. 415; ,Les series etc.“, S. 358; , Handbuch \ 
etc.“, S. 238. i 
