E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. 173 
«H = 1 für Primzahlen, 
ün = 0 für zusammengesetzte n 
ist. In der Tat ist die über alle Primzahlen (in wachsender 
Reihenfolge) erstreckte Reihe 
_1 
4- » «' 
bekanntlich ') für v — ü divergent, für alle anderen reellen v 
konvergent. Es gibt natürlich einfachere Beisjjiele; ich wählte 
das vorliegende, da es au sich von Interesse erscheint; zu den 
nicht zahlreichen, mit der Verteilung der Primzahlen zusammen- 
hängenden Reihen, deren bedingte Konvergenz man beweisen 
kann, gehört nämlich jetzt z. B. die Reihe 
ß(l-f-i)== 
2! 
3! 
(l-[-0(2+f)(3d-i) ' (l-hi)(2-f i)(3 + 0(4 + f) 
■p 
5! 
(l-hi)...(6-h0 
+ • • • + 
(1 + 0 • • • O + 1 + 0 
+ . 
Das folgende Beispiel zeigt endlich, daß — im Gegensatz 
zu einer früher von Herrn Nielsen^) gemachten Bemerkung — 
aus der Konvergenz einer Fakultätenreihe für — ii^ i 
nicht die absolute Konvergenz in allen Punkten folgt, deren 
Abstand von der Geraden (a;) = , nicht kleiner alsl“ ist. 
Die Dirichletsche Reihe 
Qo (_ 1)« n 
«^2 
ist für X = 1 konvergent und konvergiert trotzdem für x = 2 
nur bedingt, nicht absolut. Absolute Konvergenz ist also — durch 
*) Literatur s. ebenda, S. 108 — 109. 
„Recherches etc.“, S. 429; in seiner Arbeit ,sur la multiplication 
de deux series de factorielles“ (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 
Ser. 5, Bd. 13i, 1904. S. 71) spricht Herr Nielsen gleichfalls noch (mit 
vermeintlichem Beweis) den Satz aus: „Wenn i2(x) konvergiert, so kon- 
vergiert (x -f- 1) absolut. “ 
