E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. 179 
Satz IX: Jede (von 0, — 1, ... verschiedene) Stelle der 
Konvergenzgeraden 9t {x) — X der Reihen 
( 1 ) 
und 
(U) 
o(^) = U 
n \ a„ 
n = o ^ + 1) • • • (^ + w) 
ist für beide (in der Halbebene 9t (a;) > A durch Q (x) 
und W (x) definierten) Funktionen regulär oder für 
beide singulär. 
Es braucht natürlich keinen auf der Grenzgeraden ge- 
legenen .singulären Punkt zu geben. 
Dem Beweise des Satzes IX schicke ich folgenden Hilfs- 
satz aus der Theorie der Gammafunktion voraus: 
Hilfssatz 4: Es sei für jedes komplexe x und jedes 
ganzzahlige n'^\ eine Funktion q> {x,n) durch die 
Gleichung 
( 20 ) 
n \ 
r{x') x{x 1) . . . (a; -p w) 
x-\- (p {x, n) 
2n ^ n’- ^ 
definiert. Wenn & ein im Endlichen gelegenes Ge- 
biet der iC-Ebene ist, ist \(p{x,n)\ für alle a: in ® 
und alle n = 1, 2, ... unterhalb einer endlichen (von 
X und n unabhängigen) Schranke A gelegen. 
Erster (direkter) Beweis des Hilfssatzes 4: Es ist, 
falls C die Eulersche Konstante bezeichnet, 
1_ 
r{x) 
p " a; -p J' — 
! ^^x 77 e ’’ 
1 ^ 
v=l 
77 
»=ti+i 
(2 1) nl 
r{x)x{x ■■■ {x-\-n) 
n 
v=«+l 
*) Die linke Seite von (20) stellt für jedes n eine ganze tran- 
szendente Funktion von x dar, cp {x, n) also gleichfalls. 
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