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Sitzung der inath.-phys. Klasse vom 3. Februar 1906. 
ist (in welchem B.^, . . . die Bernoullischen Zahlen bezeich- 
nen). In der Tat ist für ganzzahlige positive x bekanntlich 
99,,(a;) = r (p-' -1-2*’-' -j- • • • -f- (a; — l)”-'), 
also für ganzzahlige positive x und n'> x 
lotr 
1 
r {x) x{x -f 1) 
n • n 
n \ 11 ^ n ! n® 
(ir-t-w) (a; -f- w)! 
1 tV ' IV ' fl ^ l -t \ Q 
= («+ l)(» + 2)...(« + a,') “ “■ ‘»S (' + n, 
V V' = V V' n- ^ V 1 1)” + 1) 
^ ^ i’ti'" . »'«*’ n'’ Ij 
Q =1 V = 1 
V= 1 
»' w 
r = l 
n'’ 
Damit ist (31) für ganzzahlige positive x. also für alle x be- 
wie.sen. Übrigens läßt .sich dieser Zusammenhang der semi- 
konvergenten Entwickelung (30) mit den Bernoullischen Funk- 
tionen auch aus den bekannten Formeln des Herrn Sonin') 
ablesen. 
AVas die Polynome Fk (x) betrifft, so hängen sie eng mit 
den sogenannten Stirlingschen Polynomen Z;*®" Grades v’fc (^) 
zusammen, deren Theorie von Herrn Nielsen sehr übersichtlich 
im fünften Kapitel seines Handbuches dargestellt worden ist. 
AA'^enn die Ausdrücke dn durch die für ganzzahlige positive 
X und ' w > a; gültige Potenzreihe 
1 _ ^ «I 
w(n -j- 1) . . . (w ic) k=o w^+‘+* ’ 
deüniert sind, so ist 
ßx+l = l 
ßx-)-i = (— 1)'“+' x{x^\)...{x-\-k) 1 (— X - 1) {k > 0). ^) 
b jBernoullische Polynome und ihre Anwendungen“ (russisch), 
Warschauer Universität.snachrichten, 1838; „Sur les polynömes de Ber- 
noulli“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 116, 
1896, S. 137. 
b Es ist dies die Gleichung (9) auf S. 68 des Handbuchs, wenn in 
dieser n statt a; 1 statt », k statt s geschrieben wird. 
3) 1. c., S. 74, (lü). 
