E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. 1^7 
Da mm für ganzzahlige positive x und » > a; 
n : n 
! ‘t'iX 
n 1 n 
,x + l 
1 
l\x) x{x . .{x -\- n) {x-\-r^\ n{n 1) . . .{n-\- x) 
i.st, so ist für ganzzalilige a; > 0, also allgemein die in (29) 
auftretende Funktion 
Fu{x) = — a:(a; + 1) . . . (a; + Ä") »p *- 1 (— a; — 1) {Ic > 0). 
Für meinen Zweck kommt es nur darauf an, dals die 
Fit{x) in (29) überhaupt ganze rationale Funktionen sind. Die 
Relation (29) ergibt, wenn man mit “ multipliziert und über 
alle w = 1, 2, . . . summiert, für 9t (a;) > A 
(32) 
+ • ■ ■ + ft(x) '/'(* + /,) T. ■■ 
« = l 
hierin ist die Reihe 
cp{x, n)a„ 
n = i n- 
X H“ h -j- 1 
ist, so lehrt die Gleichung (32), dafs die durch definierte 
für eine gewisse Umgebung jeder Stelle der Halbebene 9i (a:)> A - A: 
gleichmäßig konvergent. Falls also z. B. die durch W{x) defi- 
nierte Funktion für 9t (a:) > A — 10 existiert und regulär 
(•^)_ 
Funktion für 9t(a;)>A — 10 existiert und regulär ist. Falls 
F{x) eine ganze transzendente Funktion definiert, definiert also 
0{x) eine in der ganzen Ebene existierende eindeutige anal}’- 
tische Funktion, welche keine anderen singulären Punkte haben 
kann als Pole erster Ordnung in 0, — 1, — 2,... Ein 
Beispiel hierfür liefern die beiden wohlbekannten Funktionen, 
welche den Werten 
ö» = (— 1)’ 
