E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. 1Ö9 
( 1 ) 
Q(x)==:^ 
nlOn 
u=oX (x 1) . . . (x n) 
nur die Fakultätenreihe 
+ 1) . . . (^ + .„) (fl w 
nla, 
» = m+i {x -\- m V) . . . {x -\- n) ’ 
wo ni eine ganze Zahl > — 1 — X ist, als Funktion von 
X m -y 1 — y zu betrachten und auf die Reihe 
£. n\an ^ li ! hk 
n = m+i {x -\- m V) . . . {x n) k=ot/(y + 1) • ••(*/ + ^) 
mit der Grenzgeraden 9? (y) = ^ -t- m -f- 1 ^ 0 den Satz anzu- 
wenden. Auf Grund von (12) kann man auch ohne Beschrän- 
kung der Allgemeinheit annehmen, daß gleich von Anfang an, 
also für alle w > 0 die Ungleichung 
a„ > 0 
erfüllt ist. 
Da die Reihe (1) nach Satz III in der Konvergenzhalb- 
ebene beliebig oft gliedweise dilferentiiert werden darf, ergibt 
sich für 9? (x) > X 
1 
ü' (x) = '^n \ fln 
n = 0 
x{x -\- 1)* . . . (a; -t" «) 
2 
x‘‘'{x 1) . . .{x -\- n) 
1 
+ 
x(x -y 1) ... (x -y ny 
1 
(a;) ^^'^'^\x^(^x-y\)...{x^n) ' x‘-{x-y\y...{x-yyi) 
+ • 
u. s. f. Man sieht, daß in {x) für reelle a; > / die Glieder 
das Vorzeichen (— 1)'' oder 0 haben, je nachdem a«> 0 oder = 0 
ist ; jedenfalls treten in ( — 1)'‘ (a;) keine negativen Glieder 
auf. Wäre nun x = X eine reguläre Stelle der Funktion, so 
würde die in der Umgebung von x = X -y 1 gültige Potenzreihe 
