E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. 191 
I konvergieren würde, gegen die Voraussetzung, dal3 9?(a;) = A 
' die Konvergenzgerade von ü{x) ist. 
Zweiter Beweis: Der Satz X ergibt sich unmittelbar, 
wenn ich meinen kürzlich publizierten*) analogen Satz als be- 
kannt voraussetze: der reelle Punkt der Konvergenz- 
geraden einer Dirichletschen Reihe mit reellen, nicht 
negativen Koeffizienten ist eine singuläre Stelle der 
Funktion. Wenn dieser Satz mit dem Satz IX verbunden 
wird, so ergibt sich daraus ohne weiteres der zu beweisende 
Satz ; denn a: = A ist eine singuläre Stelle der durch die zu- 
gehörige Dirichletsche Reihe definierten Funktion. 
Ich will noch bemerken, daß im Falle der Divergenz von 
der Satz X leichter zu beweisen ist. Wenn alle > 0 
angenommen werden und />0 ist, könnte 0(/.) nur gegen + oc 
divergieren, und es ist nicht schwer, analog zu einer bekannten 
Eigenschaft der Potenzreihen zu beweisen, daß alsdann bei An- 
näherung von rechts 
I lim Q (x) = - 1-00 
X = l 
I ist, also A keine reguläre Stelle der Funktion sein kann. Aber 
die obigen beiden Beweise gelten auch im Falle der Konver- 
I genz von ü (A). 
Eine letzte Anwendung des Satzes IX will ich zu dem 
{ Zwecke machen, eine Fakultätenreihe zu konstruieren, welche 
b über ihre Grenzgerade nicht fortsetzbar ist. Hierzu genügt 
I es offenbar nach Satz IX, eine Dirichletsche Reihe mit dieser 
1 Eigenschaft anzugeben; aber in der Literatur habe ich noch 
I kein solches Beispiel erwähnt gefunden. Es läßt sich analog 
f der durch Herrn Lerch bekannten nicht fortsetzbaren Potenzreihe 
X -f- x“^ -l- x^ -\- 
fc = 0 
o Ä 
} leicht eine Dirichletsche Reihe der verlangten Art bilden; ich 
i behaupte nämlich, daß die Dirichletsche Reihe 
{ 
') „Über einen Satz von Tschebyschef“, 
Bd. Gl, 1905, S. 53G. 
Mathematische Annalen, 
