E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. 213 
Um zu zeigen, daß 3 (x) eine analytische Funktion von x 
ist, beweist Herr Pincherle unnötigerweise zuerst, daß das durch 
Ditferentiieren unter dem Integralzeichen entstehende Integral 
für 91 (x) > z konvergiert und zwar in einer gewissen Umge- 
bung jeder Stelle gleichmäßig; er wendet dann einen Satz von 
Scheelfer an, nach welchem daraus der analytische Charakter 
von 3 (x) folgt. Jener Xachweis der Konvergenz (und zumal 
der gleichmäßigen Konvergenz) ist jedoch überflüssig, da statt 
des Scheefferschen Satzes ein viel weittragenderer Satz von 
Herrn de la Yallee Poussin'^) zur Verfügung steht; ich mache 
hier zu Henm Pincherles Beweisführung die analoge Bemer- 
kung wie auf S. 163, Anm. 1 gegenüber Herrn Gaben, und es 
erscheint mir prinzipiell wichtig, diese Dinge zu erwähnen, 
obgleich im vorliegenden Fall die Untersuchung des durch 
Differentiieren unter dem Integralzeichen entstehenden Inte- 
grals keine Mühe macht. 
Der Satz von Herrn de la Vallee Poussin lautet: 
Es sei n eine Zahl, welche unstetig oder stetig 
ins Unendliche wächst, f(x,n) für jedes in Betracht 
kommende n eine in einem zusammenhängenden Ge- 
biete @ reguläre analytische Funktion von x. Es 
existiere für alle a: in @ der Grenzwert 
lim f{x, n) = f{x), 
»l = 3> 
und zwar konvergiere f{x,n) für alle a: in @ gleich- 
mäßig gegen / (a;). 
b »Über einige bestimmte Integrale, betrachtet als Funktionen 
eines komplexen Parameters“, Habilitationsschrift, München, 1883, S. 5-6. 
b nSur les applications de la notion de convergence uniforme dans 
la theorie des fonctions d’une variable complexe“, Annales de la societe 
scientiiique de Bruxelles, Bd. 17, Teil 2, 1893, S. 324 — 325. 
Herr de la Yallee Poussin beweist ihn durch Anwendung der 
— von ihm wiedergefundenen — Moreraschen Umkehrung des Cauchy- 
schen Satzes. Für den Fall, daß n alle positiven ganzen Zahlen durchläuft, 
stellen 1. und 2. den auf S. 163 — 164 erwähnten Weierstraßschen Satz dar. 
