E. Landau: Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. 217 
j <I> (co) j <. i* 
W {co) < B (für alle ^ 1) 
Cü 
B X dt = Bw^ B (o)® — 1) < 2 iy (/;* *, 
1 
folglich von einer gewi.s.sen Stelle an 
I <d> (fo) I < ^o*+^ 
womit der Satz VIII'“ bewiesen ist. 
Endlich gilt der — von mir bereits publizierte ') — 
Satz X"': Wenn für alle t von einer gewissen Stelle 
an {t ^ a) 
H> (0 ^ ^ 
ist und das Integral 
(1 (x) — j‘t/’ f^j dt 
I 
eine im Endlichen gelegene Konvergenzgerade'-^) 
9i (a;) = besitzt, so ist x = X eine singuläre Stelle 
der in der Halbebene durch das Integral 
3 (:k) definierten analytischen Funktion. 
Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann 
a — \ angenommen werden, da 
j* V’ (0 t~^ dt 
eine ganze transzendente Funktion von x ist. Nach Satz IIF“ 
ist nun, mindestens für ' x — X — 1 | < 1, 
00 {x — X — IV^ 
3 (^) = i: + 1) 
4=0 
{x^i - xy 
lc\ 
j* tp {t) t~’-~^ log'“ t d t. 
Wäre X — X eine reguläre Stelle, so wäre der Konvergenz- 
radius r dieser Potenzreihe >1. Es sei j) so gewählt, daß 
/> > 0, 1 f <r 
*) 1. c. (s. S. 191, Anm. 1), S. 548. 
*) Natürlich muß hier = ). sein. 
