Hartogs: Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel. 22b 
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Es sei in der a;-Ebene ein beliebiger Bereich B^), des- 
gleichen in der ^-Ebene ein beliebiger Bereich B' vorgelegt. 
Die Randkurven dieser Bereiche mögen mit C bezw. C be- 
zeichnet Averden, und es stelle y = irgend einen festen, dem 
Bereiche B' angghürenden Punkt dar. Wir wollen alsdann 
annehmen, es stehe von dem Zweige f {x, y) einer analytischen 
Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y 
lediglich fest, dah er sich in dem ganzen Gebiete eindeutig 
und regulär verhalte, welches besteht 
a) aus allen Stellen {x, y), für welche x der Begrenzung C 
des Bereiches B und y gleichzeitig dem Bereiche B' ange- 
hört, und 
b) aus allen Stellen {x, y^, für welche x dem Bereiche B 
angehört. 
Es gibt alsdann zunächst, da B eine abgeschlossene Punkt- 
menge darstellt, eine positive Größe ä: derart, daß f{x,y) auch 
noch an allen Stellen {x, y), für welche x dem Bereiche B an- 
gehört und y der Bedingung \ y — <CJc genügt, eindeutig 
und regulär ist; die Gesamtheit aller inneren Punkte y von B', 
für welche zugleich \ y — ^ j/g | < ä: gilt, heiße K. 
b Unter einem „Bereich B“ der x-Ebene werde im folgenden 
stets eine abgeschlossene Punktmenge von der Beschaffenheit ver- 
standen, daß a) jeder Punkt x derselben entweder selbst ein innerer 
Punkt der Menge ist (d. h. daß alle Punkte eines genügend kleinen 
Kreises mit dem Mittelpunkte x ebenfalls zu B gehören) oder doch als 
Häufungsstelle von inneren Punkten erscheint, und daß b) je zwei innere 
Punkte von B stets durch eine aus einer endlichen Anzahl geradliniger 
Stücke zusammengesetzte Linie miteinander verbunden werden können, 
welche ganz aus inneren Punkten von B besteht. Die Gesamtheit der 
Begrenzungspunkte von B (also derjenigen Punkte von B, welche 
nicht zugleich innere sind) möge die „Begrenzung“ oder die „Rand- 
kurve“ C des Bereiches jB heißen; sie stellt ebenfalls eine abgeschlossene 
Punktmenge dar. ln der entsprechenden Weise mögen B' und C in 
der y-Ebene erklärt sein. Endlich möge ein „Bereich B“ der 4-dimen- 
sionalen xy-Mannigfaltigkeit in Bezug auf die letztere die analogen 
Eigenschaften besitzen wie ein Bereich B in Bezug auf die 2-dimen- 
sionale a’-Mannigfaltigkeit. 
1906. Sitzungsb. d. math.-phys. Kl 
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