Hartogs: Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel. 227 
• X und y jedenfalls einen wolilbestiininten endlichen W ert. Des 
I' weiteren kann aber, wenn x — x^, y = y^ irgend ein festes der- 
^ durch eine nach 
-y) 
ganzen positiven Potenzen von x — x^ und y — y^ fortschreitende 
I Doppelreihe ersetzt werden, deren Koeffizienten von x und y 
unabhängig sind, und welche bei geeigneter Beschränkung der 
I absoluten Beträge von x — x^ und y — y^ absolut, sowie in 
I Bezug auf alle in Betracht kommenden Wertsysteme y 
gleichmäßig konvergiert. Diese sämtlichen Eigenschaften 
der Reihe bleiben auch dann noch bestehen, wenn man die- 
II selbe, was bei passender Anordnung ihrer Terme möglich ist, 
als einfach unendliche Reihe auffaßt. Durch gliedweise 
Integration dieser letzteren erhält man dann in der Tat die 
|j Entwicklung des Doppelintegrals nach positiven ganzen Potenzen 
von X — x^ und y — y^, und zwar konvergiert die so sich er- 
' gebende (zunächst als einfach unendlich gedachte) Reihe sicher- 
lich absolut, wenn man noch die obere Schranke für die ab- 
j soluten Beträge von x — ■ x^ und y — y^ beliebig wenig ver- 
kleinert; die Reihe kann somit, wenn man will, auch wieder 
; als absolut konvergente Doppelreihe aufgefaßt werden. 
I Hieraus geht aber hervor, daß der betrachtete Ausdruck 
' die Funktion f{x,y) bezw. ihre analytische Fortsetzung auch 
■| noch im Innern des vollen Gebietes {B, !>') darstellen muß; 
! f{x,y) verhält sich also notwendig auch noch in der 
Umgebung jedes im Innern des Gebietes {B, B') ge- 
it legenen Punktes {x,y) regulär. 
[ Läßt man jede spezielle Annahme bezüglich der Begren- 
‘ ' zung der Bereiche B und B' fallen, so kann man in folgender 
■V Weise zum Ziele gelangen. Aus den Voraussetzungen folgt 
zunächst die Existenz einer positiven, von Null verschiedenen 
Größe a von der Beschaffenheit, daß, sobald x = x' , y = y' 
t \ irgend eine der unter a) oder b) genannten Stellen bedeutet, 
1 f{x, y) noch in jedem Gebiete \x — x' \ <.a, 'y^y'\<ia ein- 
I deutig definiert und regulär ist. Die a;-Ebene werde nun auf 
I irgend eine Weise in kongruente (Quadrate von der Seitenlänge 
15 * 
artiges Wertepaar bedeutet, 
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