Hartogs: B'olgeruiigeii aus der Cauchyschen Integralfonuel. --^9 
überdeckte Gebiet (inkl. Begrenzung) mit bezeichnet. Der 
Bereich B.^ enthält dann den Bereich B^ in seinem Innern, 
und jeder nicht zu B gehörige Punkt von B.^ ist von einem 
gewissen Punkte von B und daher auch von einem gewissen 
Punkte von G um weniger als a entfernt. Der nicht zu B^ 
gehörige Teil von B.^ möge (einschl. seiner Begrenzung) mit S 
bezeichnet Averden. f{x, y) verhält sich alsdann ini Gebiete 
(S, B') eindeutig und regulär und es gilt somit: 
( 1 ) 
2nif{x, y) 
Uh) 
/ü'l) 
^ — X 
wobei X irgend einen inneren Punkt des Gebietes *S', y irgend 
einen Punkt von B' bezeichnet, und die Integrale jedesmal 
über die vollständige Begrenzung des in Parenthese ange- 
gebenen Gebietes zu erstrecken sind. 
Andererseits verhält sich f\x,y) im Gebiete {B.^, \y — I 
eindeutig und reguläi’, und es gilt somit, solange \ y — ya\<C.u ist, 
für jeden nicht zu B^ gehörigen Wert von x. Da aber für 
jeden solchen Wert von x dieses Integral eine im Bei-eiche B' 
durch Aveg reguläre analytische Funktion von y darstellt, so 
verschwindet es auch für jedes dem Bereiche B' angehörige 
y, und die rechte Seite der Gleichung (1) reduziert sich somit 
stets auf ihr erstes Glied. Dieses, welches demnach im Gebiete 
(S, B') mit '2nif{x,y) dem Werte nach übereinstimmt, stellt 
aber eine im Innern des ganzen Gebietes (B>, -Bi), speziell also 
im vollen Gebiete (B, B‘) eindeutige und reguläre analytische 
Funktion von x und y dar. 
2 . 
Über die Verteilung der singulären Stellen bei den 
analytischen Funktionen zweier Veränderlichen sagt der soeben 
bewiesene Satz folgendes aus: 
Es sei C die Randkurve irgend eines Bereiches B 
der iC-Ebene, welcher den Nullpunkt enthält. Ist als- 
