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Sitzung der niath.-pliys. Klasse vom 3. März 190G. 
dann der Punkt a; = 0, y — 0 für einen gewissen Zweig 
f {x, y) einer analytischen Funktion von x und y eine 
singuläre Stelle, während dieser Zweig sich eindeutig 
und regulär verhält an jeder Stelle (a:, 0), für welche 
X auf G liegt, so gibt es eine Zahl Z>0 derart, daß zu 
jedem Punkte y = 2/o des Kreises \ y </ eine singuläre 
Stelle (iCo, y^ jenes Zweiges existiert, für welche x^ 
dem Bereiche B angehört. 
Infolge der über f(x, y) gemachten Voraussetzungen exi- 
stiert nämlich jedenfalls eine positive Größe 1 von der Be- 
schaffenheit, daß f (x,,y) noch im Gebiete (C, y <0 eindeutig 
und regulär ist. Die so bestimmte Größe l genügt aber dann 
zugleich den Anforderungen des Satzes. Ist nämlich y ~ y^ 
irgend ein der Bedingung ' y^ | < J genügender Wert, und ver- 
hielte sich entgegen der Behauptung f (x, y) in der Umgebung 
einer jeden Stelle (x, y^) regulär, für welche x dem Bereiche B 
angehört, so müßte nach dem in Nr. 1 bewiesenen Satze /"(a;,?/) 
auch im vollen Bereiche (B, J y | ^ 0 eindeutig und regulär sein, 
während ja der Punkt x = 0, y = 0 für f {x, y) eine singuläre 
Stelle sein sollte. 
Durch Spezialisierung ergibt sich aus obigem Satze der 
folgende : 
Ist der Punkt a: = 0, y = 0 eine singuläre Stelle für den 
Funktionszweig f (x, y), gibt es jedoch in einer gewissen Nach- 
barschaft dieses Punktes für f{x, y) keine weitere singuläre 
Stelle, deren y-Koordinate Null ist, oder gibt es wenigstens 
innerhalb jedes beliebig kleinen Kreises um a; = 0 noch Be- 
reiche B, welche den Punkt a; = 0 enthalten, und deren Rand- 
punkte mit y ~ 0 sämtlich reguläre Stellen für f{x^ y) ergeben, 
so läßt sich zu jeder beliebig kleinen positiven Zahl h 
stets eine zweite J derart angeben, daß zu jedem 
Punkte y — y^ des Kreises \y dl mindestens eine sin- 
guläre Stelle (Xq, iJo) jenes Funktionszweiges existiert. 
welche der Bedingung 
Xn\<k genügt. 
