Haiiogs: Folgerungen aus der Caueliysclien IntegralFonnel. 
3. 
Ist ein beliebiger Bereich B der a;-Ebene sowie ein be- 
liebiger Bereich B‘ der y-Ebene vorgelegt und steht von dem 
Zweige f{x, y) einer analytischen Funktion fest, dah er sich in 
demjenigen Gebiete eindeutig und regulär verhalte, welches aus 
allen Begrenzungsstellen des Bereiches B = (i?,-Z?') besteht 
(d. h. sowohl aus allen Stellen {x, y), für welche x der Rand- 
kurve von B und y dem Bereiche B‘ als auch aus allen den- 
jenigen, für welche x dem Bereiche B und y der Randkurve 
von B' angehört), so ist nach dem in Nr. 1 bewiesenen Satze 
f {x, y) notwendig auch im vollen Bereiche B eindeutig und 
regulär. Dieser Satz läßt sich nun auf völlig beliebige Be- 
reiche B*) der a; y-Mannigfaltigkeit übertragen; doch werden 
wir uns hierbei auf die Betrachtung eindeutiger analytischer 
Funktionen beschränken. Der Satz lautet alsdann: 
Liegt ein beliebiger Bereich B der icy-Mannig- 
faltigkeit vor und steht von der eindeutigen analyti- 
schen Funktion f(x,y) fest, daß sie sich an jeder Be- 
grenzungsstelle (x, y) des Bereiches B regulär ver- 
halte, so verhält sie sich auch im vollen Bereiche B 
regulär. 
Beweis. Da die Begrenzung von B eine abgeschlossene 
Menge von Punkten (aj, y) darstellt, so läßt sich zunächst 
wiederum eine positive Größe a angeben, so beschaffen, daß 
wenn {x‘ , y') irgend eine Begrenzungsstelle von B bedeutet, 
/ (x, ij) auch noch in jedem Gebiete \x — x \<C.a, \y — ?/' | < a 
regulär ist. 
Die Gesamtheit der ^-Koordinaten aller Punkte von B 
bildet offenbar einen Bereich B' der y-Ebene. Ist y — y^ ein 
Randpunkt von B' (oder auch ein beliebiger Punkt von B\ 
welcher von einem Randpunkte um weniger als a entfernt ist), 
so ist f{x^ y) sicher in der Umgebung jeder dem Bereiche B 
angehörenden Stelle {x^y) regulär, deren y-Koordinate gleich 
y^ ist. Wüßte man, daß das nämliche auch von jedem be- 
Siehe p. 225, Fußnote h- 
