Hartogs: Folgerungen aus der Cauchyschon Integralformel. 233 
SO ist der Punkt (x. (da er nicht innerer Punkt von B sein 
kann) sicher ein Begrenzungspunkt von B. Demnach ist 
hem ganzen Gebiete regulär, welches besteht: a) aus 
allen Stellen (x, y), für welche x der Kurve C, y dem Bereiche 
\y — yQ<s^ angehört; b) aus allen Stellen (r, yj, für welche 
X dem Bereiche Z> angehört. Nach dem Satze von Nr. 1 ist 
infolgedessen / (x, y) auch im vollen Gebiete (B, \y — ?/„ | < .f«) 
regulär, also speziell in der Umgebung der Stelle (Xj, y^). 
4. 
Der in Kr. 1 bewiesene Satz läüt noch nach einer anderen 
Kichtung hin eine Verallgemeinerung zu. Die bei der Voraus- 
setzung desselben unter b) definierte Gesamtheit von Stellen 
(•^i yo) kann nämlich ersetzt werden durch eine anderweitige 
Gesamtheit, bei welcher die y-Koordinate nicht mehr unge- 
ändeit bleibt, sondern ihren Wert gleichzeitig mit x ändert 
(ohne jedoch den Bereich B' jemals zu verlassen). Allerdings 
kann man sich schon an den einfachsten Beispielen von Singu- 
laiitäten unmittelbar davon überzeugen, daß diese Abhängig- 
keit keineswegs völlig willkürlicher Natur sein (etwa Un- 
stetigkeiten aufweisen) darf, sowie ferner, daß die Gestalt 
mindestens eines der Bereiche B, B' gewissen Beschränkungen 
unteivv Olfen werden muß.^) Wir werden im folgenden annehmen, 
h Es sei z. B. f{x,y) — _ Wählt man nun etwa für B den 
X y 
Bereich \x\^2, für B' den Bereich Iy|< 1 (so daß f{x, 7 j) im Gebiete 
{C, B‘) regulär ist), und setzt des weiteren ip {x) = 0 für jeden von Null 
verschiedenen , dem Bereiche B angehörenden Wert x, dagegen ip (O) 
gleich irgend einer von Null verschiedenen Konstanten, so verhält sich 
f(x, y) in der Umgebung jeder Stelle (r, xp (.r)) regulär und es sind somit 
alle Voraussetzungen erfüllt; nichtsdestoweniger ist f{x,y) im Bereiche 
(B, B ) nicht durchweg regulär. — Wählt man andererseits für B den 
Kreisring 1 < j x j < 4, für B' den Kreisring 2 < | x | £ 3 und setzt durch- 
^6^ V (••^) = X, so sind wiederum alle Voraussetzungen erfüllt, ohne 
daß /"(x, y) im Gebiete (ß, B‘) durchweg regulär wäre. Damit der Satz 
gültig sei, muß zum mindesten einer der beiden Bereiche B und B' 
einfach zusammenhängend sein. 
