Hartogs: Folgerungen aus der Cauchyschen Tntegralformel. 239 
Was den Satz von Nr. 2 betrifft, so können auch bei 
diesem sowohl an Stelle von x, als auch an Stelle von %j be- 
liebig viele Veränderliche treten. Der Satz erscheint alsdann 
in der folgenden Form, welche sich unmittelbar als Folgerung 
aus dem Satze (B.) ergibt: 
Es sei Cq (o = 1, 2, ... ,a) die Randkurve irgend eines 
Bereiches li^ der aj^-Ebene, welcher den Nullpunkt enthält. Ist 
alsdann der Punkt x^ = x.^ — . . . = = ^ eine singuläre Stelle 
für den Zweig f (x^, x^, ...x,,) einer analytischen Funktion, 
während dieser Zweig sich in dem ganzen Gebiete eindeutig 
und regulär verhält, das aus den Stellen (6'j, ... 0^, 0,0, ... 0) 
besteht, so gibt es eine Zahl Z>0 derart, daiä zu jedem den 
Bedingungen | Xf^-^i | </,... j a:," < Z genügenden Wertsystem 
x^ + 2 , • • • eine singuläre Stelle {x°, x^, ... x^,) jenes 
Zweiges existiert, für welche xt dem Bereiche . . ., X/^ dem 
Bereiche Bfi angehört. 
Der Satz von Nr. 3 gilt unverändert für einen beliebigen 
Bereich B der (x^, x^i . . . a;„)-Mannigfaltigkeit. Der Beweis er- 
gibt sich ohne weiteres aus dem dortigen, indem man an Stelle 
von y n — 1 Veränderliche treten läßt. 
Was schließlich die Betrachtungen von Nr. 4 betrifft, so 
kann man diesen zunächst den folgenden allgemeineren Satz 
an die Seite stellen: 
(D.) Der Fuuktionszweig f{x, y, z, . . .) verhalte 
sich eindeutig und regulär in dem ganzen Gebiete, welches 
besteht 
a) aus allen Stellen (C, B' , B“, . . .; G, . . .), 
b) aus allen Stellen {B, rp{x),x{x), . . .; 6r, 6r',. . .). 
Dabei mögen die Bereiche B‘, B\ . . . und die Funktionen 
'/’ (^)» 'I • • • analogen Beschränkungen unterworfen sein, wie 
sie in Nr. 4 bezüglich des Bereiches B' und der Funktion y) [x) 
galten, während G, G' , . . . wieder beliebige abgeschlossene 
Mengen von Punkten der n v - . . . . Ebene bedeuten. Als- 
