Hartogs: Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel. 241 
ersetzen, ohne daß dieselben ihre Gültigkeit verlieren. Xach 
dem Satze (D.) ist daher f (x, y, g, , . v, . . .) in dem ganzen 
Gebiete {B, B' , B", . . Go, Gi, . . .) eindeutig und regulär und 
somit, da die Quadrate Qo, Qö, . . . beliebig gewählt werden 
konnten, auch in dem ganzen Gebiete {B, B‘,B\ . . G, G\...). 
Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes ergibt sich 
dann schließlich jeder der beiden folgenden: 
(D .) Es sei 0 < /r < n. Der Funktionszweig f(xu Xo,. . ., x„) 
verhalte sich eindeutig und regulär in dem ganzen Gebiete, 
welches besteht 
a) aus allen Stellen (<7,, C 2 , . . . C,., . . . B„), 
b) aus allen Stellen 
(Bl, Bi,. .. Bf,, (xi, . ..X,,),... (xi, . . . Xf,)). 
Dabei sollen die Bereiche Bf,^\, . . ., B,, die erwähnte spe- 
zielle Eigenschaft besitzen, die Funktionen y>„ (xi, . . . x,,) 
(0 -|- 1, . . ., w) aber im Gebiete Bi, Bi, . . B„ eindeutig 
und regulär sein, und der Punkt a;» = (xi, . . ., Xf,), so lange 
das Wertsystem Xi, . . ., Xf, dem Gebiete Bi, . . ., B^ angehört, 
im Innern des Bereiches B^ gelegen sein. Alsdann ist 
f (x\, Xi, .. ., Xn) auch im vollen Gebiete (Bi, Bi, .... 7A) ein- 
deutig und regulär. 
(D".) Der Funktionszweig /■(a:i, iCo, ..., a:„) verhalte sich 
eindeutig und regulär in dem Gebiete, welches besteht 
a,) aus aUen Stellen (C,, Ci, . . ., C„_ 2 , B,), 
ao) aus allen Stellen [Ci, Ci, . . ., C^^i, B„^j,xp„), 
aa) aus allen SteUen (Ci, Co, . . ., B„^ 2 , v'„-i, y>„), 
a„) aus allen Stellen (^ 1 , xpi, . . ., rpn- 2 , V’n-i, V'«)- 
Dabei sollen die Bereiche Bo, B 3 , . . ., B,, die erwähnte 
spezielle Eigenschaft besitzen, die Größen yjQ = xfg{xi,Xi,...,XQ -i) 
(o = 2, 3, . . ., n) Funktionen von Xi, X 2 , . . .,Xg^i darstellen, 
welche im Gebiete Bi, Bo, . . ., Bo-i eindeutig und regulär sind.^) 
M Doch treten bei der Aufstellung der in irgend einer der n Zeilen 
1906. Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. 16 
