A. Voß: Über Fläclienzerlegung in infinitesimale Khomben. 269 
oder 
mithin 
« = V«» <P fP», 
oder 
V'to ” Vb-K = 0 
y> = F (u -\- v) — F {u — v), 
wo F und F willkürliche Funktionen ihrer Argumente sind. 
Demgemäß wird 
e = F' -F 
(p = F — F , 
Avo die Indizes bei F und 0 Differentiationen nach den Argu- 
menten M V, u — V andeuten. Das Längenelement Avird nun- 
mehr durch die Formel 
ds^ = {F' -h 0') [{d u d vF F' -j- {d ii — d vY 0'~\ 
ausgedrückt. Setzt man 
{du F d v) y F’ = d u^ 
{du — dv) y0' = dv^ 
F ^0' = F,Fy.. 
wo 17, und Fj Funktionen von ^<, = w -j- v, v^=u — v allein 
sind, so entsteht 
1) ds^ = {d ii\ F dvl){ U, + y). 
Man hat daher den folgenden Satz; Jede Fläche, welche 
durch zwei Scharen geodätischer Linien rliombiscL 
geteilt wird, ist eine Fläche mit dem Liouville’schen 
Längenelement, d. h. eine Liouville’sche Fläche. 
Umgekehrt kann man nun aber auf jeder Liou- 
ville’scben Fläche oo^ Systeme von Ku rvenscbaren der 
genannten Art angeben. 
Bekanntlich sind durch die Gleichungen 
d u. , d V. 
= const 
1/C7+ c - Vy - c 
bei willkürlicher Konstante c bei geodätischen Linien der 
Fläche gegeben. Setzt man nun 
