294 
Sitzung der matb.-phys. Klasse vom 5. Mai 1906. 
Ich mache von den beiden Formeln eine Anwendung auf 
diejenigen Flächen, welche ein isogonales Kurvensystem ?i = con.st, 
v = const mit den konstanten geodätischen Krümmungen yj, j'g 
enthalten. 
Für das aus den Kurven u = const, v = const gebildete 
Viereck A li C D mit dem Inhalte J, welches in positivem 
Sinne durchlaufen wird, ei'gibt sich für q) = n nach 2“) 
— y-^J — — {Ali — C D) + {li C — AD) cos to. 
Dagegen nach 2’^) für qj = v 
— y^J = {AD — C D) cos ft) -j- {li C — A D). 
Endlich hat man nach Liouville's Formel für das Krüm- 
mimgsmaß 
= 7 , {CB-AB)-Yy, {BC-AD). 
Hieraus folgt nun 
J (71 72 cos (o) = {A B — C D) sin^ o) 
J ( 7 j cos ft) -f- 7 . 2 ) = {B C — A D) sin‘^ u), 
also 
1. j _ 0'» + ^ Ti 7-2 co s o) -f yl) 
-/ J sin^ ft) 
Aus dieser Formel aber kann man unmittelbar auf die 
Konstanz von K schließen, wenn man J gegen Null konver- 
gieren läßt. 
Ist anderei'seits ein Gel)iet F eingeschlossen von zwei ortho- 
gonalen Trajektorien einer Reihe von Kurven q> = const, so daß 
ein Viereck A B C 1) entsteht, in dem A B C D zwei gegen- 
überliegende Trajektorien, B G und A D zwei Kurven q> — const 
sind, so ist die totale geodätische Krümmung der Kurven 
9 ’ = const für F 
— J‘7,, dF= BC — AD. 
