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Sitzung der inath.-phys. Klasse vom 9. Juni 1906. 
Extremum von R stattfiuden, so muß es möglich sein um 0 
ein Quadrat Q so abzugrenzen, daß in ihm R nur m dem 
Punkte 0 und sonst nicht verschwindet. Wenn man Q ge- 
hörig klein macht, sind die in ihm liegenden Nullen von R 
mit denen von f{x, y) identisch. Also darf in Q kein von 0 
verschiedener Nullpunkt von f liegen. Wie Weierstraß ge- 
zeigt hat, werden aber alle Nullpunkte von R in einem 
passenden kleinen Bereich erhalten, indem man die Gleichung 
/" = 0 nach y auflöst, wobei man x auf ein gewisses Gebiet, 
I a; j < d, beschränkt. Soll also in 0 ein Extremum von R 
eintreten, so muß ein Gebiet von a;, | a: | < d, existieren, für 
welches die Gleichung f{x,y) = ^ nur komplexe Wurzeln y 
liefert, den Punkt a; = 0 ausgenommen. 
Ist umgekehrt diese Bedingung erfüllt so gibt es ein 
Gebiet um 0, in dem fix, y) überall positiv ist, R also als 
Zeichen von C hat und nur für 0 selbst verschwindet. Dann 
liefert der Punkt 0 sicher ein Extremum von R. Ein un- 
eigentliches Extremum findet statt, wenn für eine oder mehrere 
den Punkt 0 enthaltende Kurven R verschwindet, ohne daß 
beim Durchschreiten dieser Kurven ein Zeichenwechsel eintritt. 
Dies verlangt, daß die Gleichung f {x, y) = 0 für y reelle 
Werte ergiebt, ohne daß in deren Nähe f verschiedene Zeichen 
hätte. Die entsprechenden Wurzeln besitzen dann eine gerade 
Vielfachheit. Dies erfordert, daß die Diskriminante von f {x, y) 
gebildet nach y, identisch Null, und daß fix,y) von der Form 
(j (x, yY • liix, y) sei, wo h nur komplexe Wurzeln hat. 
Die Bedingungen dafür, daß f {x, y) = nur komplexe 
Wurzeln hat, können sich in der Form darstellen 
s,{x)>i), S,(a;)>0,..., 2) 
wo die S Potenzreihen nach x sind, die für a: = 0 verschwinden. 
Es ist aber auch möglich — und dies tritt z. B. schon ein, 
wenn f (x, y) vom vierten Grade ist — daß jene Bedingungen 
nur die alternative Form haben: 
wenn (x) > 0 ist, muß (a:) > 0 . . . 
wenn aber (a;) < 0 ist, muß /Sj (a:) > ü . . . sein. 
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