J. Lüroth: Über die Extreme einer Funktion. ^Ü9 
falle. Unter Um.stünden folgt die eine Aussage aus der anderen. 
Stellt man sich die beiden Gleichungen auf, von denen die 
eine die Werte von f für alle — • reelle und kom 2 )lexe — 
Nullen von g, und die andere die Werte von g in den Null- 
2 )unh:ten von f zu Wurzeln hat, so sind deren Koeffizienten 
rational durch die Koeffizienten von F und G ausdrückbar. 
Die eine von ihnen darf dann keine positiven, die andere keine 
negativen Wurzeln haben, was sich mit Sturmschen Reihen, 
vielleicht schon mit der Descartes’sclien Zeicheni’egel, ent- 
scheiden läfit. 
Wendet man diese Methode auf den vorhin eröi-terten 
Fall an, so kommt man wieder auf die Betrachtung von 
Potenzreihen nach x zurück. Hier dürfte es indessen bequemer 
sein für die Wurzeln von {x, </) = 0 und (^) V) — ^ 
kann ter Weise Reihenentwicklungen aufzustellen und mit deren 
Hilfe die Entscheidung nach den oben gegebenen Kriterien zu 
treffen. 
Als Beispiel diene die Reihe 
(.3 — {x, ?/), + •••) + -t i /)5 H 
die schon die Form der Funktion f hat. 
In den Bezeichnungen von 4) ist s = 0, daher die Dis- 
kriminante = 16 — 4 • ü Damit die Gleichung für 
vier kom 2 )lexe Wurzeln habe, mulä also ^ > 0, und entweder 
F — 4 # < 0 oder — 4 ^ ^ 0 und r > 0 sein. Setzt man 
{x, y\ = d^x^ F d^x^ y F ’ ■ ■ d^ 
so wird 
^ F y^{d^x^ ^ — ) i' •«* + •••) + !/ (^^1 ) 
x^ -j- d^x^ • ■ ■ = {x, y). 
Mit 2/ = J/ — 7 (fZ, + • • •) folgt 
■± 
fx (•*. y) = (<^2 ^^ + ’•■) + »? ißx x'^F--- 
x^ ->r d^x^ ■ 
