J. Lüroth: Über die Extreme einer Funktion. 
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r > Ü oder aus f \ (x, //) > 0 f (x, ^) > 0 folgen. Da (^> //) = 0 
nur zwei reelle Wurzeln y hat, so genügt es hiezu, daü die 
Nullen von t\{x,y) die Funktion /2 (^, y) < 0 machen. Jene 
Nullen haben die Entwickelung 
X X 
y = —=z + • • • und w = = + • • • 
Vs 1/3 
Trägt man in (x, y) ein, so erhält man beidemale 
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— + • • • Alles zu.saramengenommen folgt also, daß es 
t/ 
für die x, y einen Bereich gibt, in dem die Gleichung f{x,y, 2)=0 
nur komplexe Wurzeln hat und somit stets > 0 bleibt. Aber 
die Diskriminante kann auch Null werden. Dies tritt ein für 
t = 0 und r* — 4^=0, also für die Kurven {x, y) = 0 und 
t\{x,tj) = 0. Die erstere hat, wie oben bewiesen, außer {x=y={)) 
keinen reellen Punkt in der Nähe des Ursprungs. Die zweite 
geht aber mit zwei reellen Asten durch den Ursprung, und 
für sie wird 
f(x,y,s)= + 0. 
also = 0, wenn -1- = 0 ist. Für die reellen Wurzeln von 
(^) y) — ^ ergibt sich 
2/ = ± J/ g a; + • • • 
r^03l/24 + 4)x^+--. 
^ — jQ (3 1^-4 -f- 4) a;“* + • • • ; 
also werden, für kleine x, auch wenn die Deskriminante Null 
ist, die Wurzeln von f {x, y, 2 ) = i) imaginär, folglich wird 
diese Funktion in der Nähe des U^r.sjjrungs überhaupt nicht 
Null und bleibt beständig > 0. Sie hat demnach im Ursprung 
ein eigentliches Minimum. 
