A. Pringsheim : Additions-Theorem elliptischer Funktionen. 417 
periodische Funktion dritter Ordnung mit dem dreifachen Pole 
11 = 0 darstellt, noch die durch die OleichuntT; 
(7) t/j + «2 -f- «2 = 0 
definierte Xullstelle u = besitzen muß. Da hiernach: 
(8) 9; (?<) — Q ■ (p (?<) — E = 0 für tt = 
so ergiljt sich fürs erste, daß allemal die Kelation besteht: 
(9) 
<p'0h) <p(»,) 1; 
(p{u^) i| = o, 
(p' <p {ii^) 1 1 
wenn «<„ irgend drei durch die Gleichung (7) verbundene, 
lediglich den Beschränkungen (1) — (3) genügende Zahlen 
bedeuten. Sie bleibt überdies auch noch giltig, wenn man 
die Beschränkung (3) fallen läßt, da im Falle u^ = u^ (mod 2a), 2 o/) 
die Determinante (9) wegen Gleichheit zweier Zeilen identisch 
verschwindet. 
Aus Gleichung (8) folgt nun weiter, daß für u = u^-, 
(p' {uy = {Q . (p {ti) 
also: 
(10) <p' {iCy ~ Q-i-cp (?,)» — 2Q R - cp («) — R'- 0. 
Andererseits muß (p (?«) als eindeutige doppelt-periodische 
Funktion zweiter Ordnung mit zweifachem Pol einer Diffe- 
rentialgleichung von folgender Form genügen:') 
(11) (p {uf = %■ cp {uf -f rtj . 9. (?*)••» -p . 9, (») -f „3 
Durch Einsetzen dieser für jeden Wert von u gütigen 
Darstellung von cp {tif in die Gleichung (10) ergibt sich, daß 
die in Bezug auf cp (») kubische Gleichung 
*) Zur Herleitung dieses Resultates ist es keineswegs erforderlich, 
den W eg über die Begehung <p («) = A ■ jp a B oder irgend eine andere 
spezielle Darstellungsforra für <p (m) zu nehmen. Es genügt dazu, außer 
den Liouvill eschen Sätzen über Anzahl und Summe der Nullen bzw. 
Pole noch denjenigen heranzuziehen, welcher die Konstiinz einer doppelt- 
periodischen Funktion ohne Pole be.sagt. 
