A. Pringslieim: Additions-Theorem elliptischer Funktionen. 421 
eine Relation, welche in analogem Zusammenhänge, wie die 
Gl. (15) auftritt, wenn man die Theorie der Kurven diätter 
Ordnung mit homogenen statt mit rechtwinkeligen Koordinaten 
behandelt. 
Aus der Differentialgleichung: 
(s n uY = (1 — sn^ u) {1 — W' sn^ ii) 
folgt sodann durch Multiplikation mit ( — 2 s s 
( — 2 sn^ u- sn nf = 4 s n~~ u {s u — 1) (s u — k-), 
sodaß also die Differential-Gleichung für cp[n) = sn~-n fol- 
gendermaßen lautet: 
(22) (p {uY = 4 (uY — 4 (1 ff- F) 97 («t)''^ ff- 4 F 99 {u). 
Man übersieht unmittelbar, daß die einfachste Form des 
Additions-Theorems hier durch Anwendung der Formel (III) 
resultieren muß. Man findet (wegen = 0 ) auf die.se Wei.se: 
• sn~^u^ 
1 / — 2 sn~-u^ • sn'^ u^- sn u^-\- 2 sn~^n^- sn~^u^ -sn m,V 
4 \ sn~^u^ — sn~-u^ ) 
(snu^ • sn snn^ • sn n,V 
Vs nu^ - s nu.^ (s — s n~ f?j ) ) 
/ sn‘u^- sn^u^ \- 
\snu^ ■ sn — sn • s n nj ' 
und daher 
sn n. 
Daraus folgt, wegen snu^ — — sn{it^ n.Y, zunächst: 
(24) 
sn{u^ ff- u^) = £ 
sn^^i^ — sn^u.^ 
snu^-sn u.^ — smi.y sn «ff 
*) S. CTebs ch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie I (1876), 
p. 605, Gl. (8). (Es muß dort übrigens p. 604, Gl. (5) statt: 
Q Xx= sin® am u 
heißen : 
p .Ti = /i® sin® am n ). 
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