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Über Potenzreihen mit unendlich vielen 
verschwindenden Koeffizienten. 
Von G. Faber in Karlsruhe. 
[Eingelaufen 5 . Novemher.) 
Überwiegen in einer Potenzreihe mit endlichem Konvergenz- 
radius die Koeffizienten vom Werte Null in genügend starkem 
Maße über die übrigen, so läßt sich unter geeigneten ein- 
fachen Zusatzbedingungen nachweisen, daß der Konvergenzkreis 
eine natürliche Grenze der hetreffenden Funktion ist. Herr 
Fabry hat diese Fragen zuerst auf das gründlichste unter- 
sucht einen Teil seiner Sätze habe ich dann einfacher be- 
wiesen.'^) 
Wenn man mit n(r) die Anzahl der nicht verschwinden- 
den Koeffizienten bezeichnet, die zu Potenzen mit Exponenten 
< i> gehören, so ist z. B. lim = 0 eiiie hinreichende Be- 
V = X 
dingung für die Nichtfortsetzbarkeit der Reihe. Andrerseits ist, 
wie Herr Fabry ausdrücklich hervorhebt, das Vorhandensein 
unendlich vieler und schließlich beliebig viele aufeinanderfolgende 
Koeffizienten umfassender Lücken in der Koeffizientenreihe für 
sich allein nicht hinreichend dafür, daß der Konvergenzradius 
'ft (v) 
sich als natürliche Grenze eroribt; ia es kann lim =0 
» J V 
') Ann. ec. norm. (3) 13 (1896) und acta math. 22 (1899). 
2) Münchener Berichte 34 (1904). 
®) Acta math. 22 (1899), p. 87 u. Journ. de Math. (5) 4 (1898), p. 349. 
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