Weierstraß’ Abelsche Transzendenten etc. 
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Die Anzahl r bzw. o der linear unabhängigen Funktionen 
a a 
(y, y) bzw. Differentiale ( dJ , dJ ) von ( K ), welche Multipla 
von £l = 1 sind, hängt ebenso wie die Zahl p nicht von der 
Wahl von L ab, sondern ist ausschließlich durch die Klasse 
selbst bestimmt. 
In dem speziellen algebraischen Fall, — wie in jedem andern, 
wo i = 1 ist — fallen wegen der Relation: 
O = X -f- p 1 (cf = T + p 1) 
die beiden Zahlen o, p zusammen und es übernimmt die Rie- 
mannsche Geschlechtszahl oder die Weier straft sehe Rangzahl 1 ) 
gleichzeitig die Rolle von o und p, während im allgemeinen diesen 
beiden Zahlen ganz verschiedene Rollen zukommen. Es ist von 
hohem Interesse, das durch die ganze Theorie zu verfolgen. 
VI. Spezialfälle. 
Ein besonders wichtiger Spezialfall ist der, daß die Klasse (K) 
„transitiv“ ist, d. h. daß die Funktionen («/, , y 2 , . . . y„ ) 
eines Systemes Zweige einer monogenen analytischen Funktion 
sind 2 ). Er liegt insbesondere dann vor, wenn die gegebenen 
Substitutionen eine Vertauschungsgruppe bilden; wir er- 
halten alsdann eine Theorie der irreduziblen algebraischen 
Systeme und ihrer Differentiale, aus welcher durch Spe- 
zialisierung (d. h. durch geeignete Wahl von L ) und durch 
Übergang von den n Blättern El zur geschlossenen Fläche die 
gewöhnliche Theorie der algebraischen Funktionen gewonnen 
werden kann 3 ). 
Aus dieser Einordnung entspringt dreierlei : 
1. man erkennt, daß fast der ganze Inhalt der Lehre von 
den algebraischen Funktionen und Differentialen allein auf ihrer 
') S. Weierstraß, a. a. 0., 4. und 5. Kap. 
2 ) Auf ihn allein beziehen sich die formentheoretischen Unter- 
suchungen über Scharen von E. Ritter, Math. Ann., Bd. 47 (1897), s. S. 197. 
3 ) Vgl. hiefür insbesondere: „Die Entwicklung der Theorie der alge- 
braischen Funktionen“, Bericht von Brill und Noether, Jahresber. d. 
Deutschen Math. Ver., Bd. III (1894), VII. Abschnitt. Den reduziblen 
Fall behandelt M. Noether in Acta Math., Bd. 8 (1886). 
